Question

Найдите 99 натуральных чисел не обязательно различных сумма которых равна их произведению

Answer 1

1 четверка, 3 тройки, 95 единиц Произведение и сумма=108

Answer 2

Данная задача называется задачей Виета. Мы ищем набор из 99 натуральных чисел, сумма которых равна их произведению.

Пусть эти числа имеют вид x1, x2, ..., x99. Тогда по условию задачи:

x1 + x2 + ... + x99 = x1 * x2 * ... * x99

Для начала рассмотрим более простой случай, когда нам нужно найти только 2 числа, удовлетворяющих этому условию:

x + y = x * y

Преобразуем это уравнение:

x * y - x - y = 0

(x - 1) * (y - 1) = 1

Отсюда видно, что единственным решением будет x = y = 2.

Теперь рассмотрим общий случай с 99 числами. Заметим, что уравнение x1 + x2 + ... + x99 = x1 * x2 * ... * x99 является многочленом с 99 переменными. Так как число переменных больше числа уравнений, то в общем случае решений будет бесконечно много. Однако мы можем найти некоторые частные решения.

Возьмем первые 98 простых чисел и число 1. Тогда, по теореме Виета, произведение этих чисел будет равно 1, а сумма будет равна сумме первых 98 простых чисел, что можно легко вычислить.

Таким образом, мы получили набор из 99 натуральных чисел, сумма которых равна их произведению. Эти числа не обязательно различны, но все они являются простыми (за исключением 1).