Question

в первом ящике из 8 шаров 5 красных и 3 черных ,во втором ящике из 10 шаров 4 красных и 6 черных.Из первого ящика первого ящика во второй переложили один шар,затем из второго в первый переложили один шар.Найти вероятность того,что шар,извлеченный после этого из первого ящика будет черный.

Answer 1

Событие А - извлечённый из первого ящика шар будет чёрным - может произойти только совместно с одним из следующих событий (гипотез):

H1 - из первого и второго ящиков извлекаются красные шары;

H2 - из первого - красный, из второго - чёрный;

H3 - из первого - чёрный, из второго - красный;

H4 - из обоих ящиков - чёрные шары.

Найдём вероятности этих гипотез:

p1=5/8*5/11=25/88

p2=5/8*6/11=30/88

p3=3/8*4/11=12/88

p4=3/8*7/11=21/88

Так как гипотезы несовместны и притом образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей должна быть равна 1. Подставляя найденные вероятности, убеждаемся, что так оно и есть. Значит, вероятности найдены верно.

Тогда A=H1*A+H2*A+H3*A+H4*A и по формуле полной вероятности p(A)=p(H1)*p(A/H1)+p(H2)*p(A/H2)+p(H3)*p(A/H3)+p(H4)*p(A/H4)

Но p(A/H1)=5/8, p(A/H2)=4/8, p(A/H3)=2/8, p(A/H4)=3/8, и тогда искомая вероятность p(A)=25/88*5/8+30/88*4/8+12/88*2/8+21/88*3/8=332/704=83/176. Ответ: 83/176.

Answer 2

Изначально вероятность извлечения черного шара из первого ящика равна:

$P_1 = \frac{3}{8}$

В результате перекладывания шаров количество черных и красных шаров в каждом ящике изменится. Общее количество шаров останется неизменным, но количество черных и красных шаров будет следующим:

• В первом ящике: 4 красных и 4 черных.
• Во втором ящике: 3 красных и 7 черных.

Теперь найдем вероятность извлечения черного шара из первого ящика после перекладывания шаров. Для этого воспользуемся формулой полной вероятности, учитывая два возможных сценария перекладывания шаров:

$$\begin{aligned} P(черный) &= P(черный|перекладывание\,1\,раз) \cdot P(перекладывание\,1\,раз) \\ &+ P(черный|перекладывание\,2\,раз) \cdot P(перекладывание\,2\,раз) \\ &= \left(\frac{4}{8} \cdot \frac{6}{10}\right) \cdot 2 + \left(\frac{3}{8} \cdot \frac{7}{10}\right) \cdot 2 \\ &= \frac{12}{80} + \frac{21}{80} \\ &= \frac{33}{80} \\ &\approx 0.4125 \end{aligned}$$

Таким образом, вероятность извлечения черного шара из первого ящика после перекладывания равна примерно 0.4125.