Question

Семь гномов построились по росту, чтобы Белоснежка раздала им 707 грибов. Сначала она даёт сколько-то грибов самому маленькому. Каждый следующий получает на один гриб больше, чем предыдущий. Сколько грибов получит самый большой?​

Answer 1

Пусть самому маленькому гному Белоснежка дала х грибов.

Тогда следующему она дала х+1 грибов

Распишем подробно для всех семи гномов:

1- х

2- х+1

3- х+2

4- х+3

5- х+4

6- х+5

7- х+6

Сложим грибы все вместе, так как мы знаем, что всего 707 грибов.

х+1+х+2+х+3+х+4+х+5+х+6=707

7х+21=707; 7х=707-21; 7х=686; х=686:7

х=98 (грибов) - самому маленькому гному.

Самому большому гному дали х+6=98+6=104 гриба

Ответ: самый большой гном получит 104 гриба.

Answer 2

Если семь гномов построились по росту, то они образуют арифметическую прогрессию, где первый член - это количество грибов, которое получит самый маленький гном, а разность - это количество грибов, на которое будет увеличиваться число грибов для каждого следующего гнома.

Для того, чтобы найти количество грибов, которое получит самый большой гном, нужно найти сумму всех грибов, которые получат все гномы вместе, а затем вычесть из этой суммы количество грибов, которые получат все гномы, кроме самого большого.

Сумма грибов, которые получат все гномы вместе:

makefileCopy code
S = (n * (a1 + an)) / 2,

где n - количество гномов, a1 - количество грибов, которое получит самый маленький гном, an - количество грибов, которое получит самый большой гном.

Количество грибов, которые получат все гномы, кроме самого большого:

scssCopy code
S' = ((n-1) * (a1 + a(n-1))) / 2.

Тогда количество грибов, которое получит самый большой гном, равно:

scssCopy code
an = S - S' = (n * (a1 + an)) / 2 - ((n-1) * (a1 + a(n-1))) / 2
an = (a1 + an) / 2 + (n-1) * (a1 + a(n-1)) / (2 * n)
an = a1 + (n-1) * (a1 + a(n-1)) / n

Заметим, что разность арифметической прогрессии равна 1, так как каждый следующий гном получает на один гриб больше, чем предыдущий. Тогда a(n-1) = a1 + (n-2), и мы можем подставить это выражение в формулу для an:

scssCopy code
an = a1 + (n-1) * (a1 + a1 + (n-2)) / n
an = a1 + (n-1) * (2a1 + n - 2) / n
an = a1 + 2(n-1) - 2/n

Теперь осталось только найти a1, количество грибов, которое получит самый маленький гном. Сумма грибов, которые получат все гномы вместе, равна 707, поэтому:

bashCopy code
S = (n * (a1 + an)) / 2 = 707
a1 + an = 2S/n = 2*707/n
a1 + a1 + 2(n-1) - 2/n = 2*707/n
2a1 + 2(n-1)