Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=cos x; y=0; x=π/6; x=π/2

Answer 1

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры,нужно взять интеграл с  пределами π\2 и π\6 от функции:$\int\limits^\frac{\pi }{2} _\frac{\pi }{6} {cos(x)} \,dx = sin(x) |^\frac{\pi }{2}_\frac{\pi }{6} = (sin(\frac{\pi }{2} - sin(\frac{\pi }{6}) ) = 1 - 0.5 = 0.5$

Ответ: 0,5 квадратных единиц

Answer 2

Сначала нарисуем график функции y = cos(x), чтобы понять, как выглядит данная фигура:

Затем мы можем видеть, что фигура ограничена линиями y = 0, x = π/6, x = π/2 и графиком функции y = cos(x). Для того, чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем разбить её на две части: треугольник, ограниченный линиями y = 0, x = π/6 и графиком функции y = cos(x), и криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y = cos(x), линиями x = π/6 и x = π/2, и осью x.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу для площади треугольника: S = 1/2 * основание * высота. Основание треугольника равно разнице между значениями x на левой и правой сторонах треугольника: π/2 - π/6 = π/3. Высота треугольника равна значению функции y = cos(x) в точке x = π/6. Таким образом, площадь треугольника равна:

S1 = 1/2 * π/3 * cos(π/6) = 1/4 * π/√3

Площадь криволинейной трапеции можно найти, используя формулу для площади трапеции: S = 1/2 * (основание1 + основание2) * высота. Основание1 трапеции равно значению функции y = cos(x) в точке x = π/6, а основание2 равно значению функции y = cos(x) в точке x = π/2. Высота трапеции равна разнице между значениями x на левой и правой сторонах трапеции: π/2 - π/6 = π/3. Таким образом, площадь трапеции равна:

S2 = 1/2 * (cos(π/6) + cos(π/2)) * π/3 = 1/6 * (1 + √3) * π

Итак, общая площадь фигуры ограниченной линиями y = cos(x), y = 0, x = π/6 и x = π/2 равна сумме площадей треугольника и трапеции:

S = S1 + S2 = 1/4 * π/√3 + 1/6 * (1 +