Question

Найти число корней из отрезка [-4П; 2П] ctg ( 2x-П/6)=1

Answer 1

ctg (2x-π/6)=1;

2x-π/6=π/4+πk;

2x=3π/12+2π/12+πk;

x=5π/24+kπ/2;

Найдем кол-во корней:

$-3\frac{19\pi}{24};\ -3\frac{7\pi}{24};\ -2\frac{19\pi}{24};\ -2\frac{7\pi}{24};\ -1\frac{19\pi}{24};\ -1\frac{7\pi}{24};\ -\frac{19\pi}{24};\ -\frac{7\pi}{24};\\\frac{5\pi}{24};\ \frac{17\pi}{24};\ 1\frac{5\pi}{24};\ 1\frac{17\pi}{24};$

12 корней

Answer 2

Найдем период функции ctg(x):

ctg(x) = cos(x) / sin(x)

Период функции tg(x) равен П, следовательно, период функции ctg(x) равен П/2.

Таким образом, на отрезке [-4П; 2П] функция ctg(2x - П/6) принимает все значения, которые принимает ctg(x) на отрезке [0; П/2], но сдвинутые по оси абсцисс на П/12 вправо.

Известно, что ctg(x) = 1, когда x = П/4 + kП, где k - целое число.

Тогда 2x - П/6 = П/4 + kП.

Преобразуем это выражение и найдем x:

2x = П/4 + kП + П/6

2x = 3П/12 + 2kП/2 + П/6

2x = (3П + 4kП + 2П) / 12

2x = (5П + 4kП) / 12

x = (5П + 4kП) / 24

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значение k, чтобы x попадало в интервал [-4П; 2П]:

x >= -4П

(5П + 4kП) / 24 >= -4П

5П + 4kП >= -96П

k >= -101/4

x <= 2П

(5П + 4kП) / 24 <= 2П

5П + 4kП <= 48П

k <= 35/4

Значит, k принимает значения от -101/4 до 35/4 включительно.

Так как каждое значение k определяет единственное значение x, то количество корней на отрезке [-4П; 2П] равно количеству значений k, т.е. 35/4 - (-101/4) + 1 = 36.

Ответ: на отрезке [-4П; 2П] уравнение ctg(2x - П/6) = 1 имеет 36 корней.