Question

В равнобедренном треугольнике угол при вершине 120 основание треугольника равно 4 корен из 3 см Вычислите радиус окружности описанной около этого треугольника

Answer 1

Пусть наш равнобедренный треугольник это треугольник ABC, где AB = BC. Проведём высоту BK, которая будет также являться биссектрисой и медианой. Получили 2 прямоугольных равных треугольника ABK и CBK. ∠ABK = 120° / 2 = 60°. Так как ∠BKA = 90° (так как BK - высота), то ∠KAB = 180° - 90° - 60° = 30°. А в любом прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет равный половине гипотенузы. Так как основание AC = 4√3см, то AK = KC = 2√3см. Обозначим высоту BK за х см. Тогда Боковая сторона равна 2х см. И по теореме Пифагора можем записать следующее:
(2√3)² + х² = ( 2х)² 
4х² - х² = 12
3х² = 12
х² = 4
х = 2 (см) - высота 
2х = 2 * 2 = 4 (см) - боковая сторона

Answer 2

В равнобедренном треугольнике, у которого угол при вершине равен 120 градусов, основание разделяется пополам этого угла, то есть на два угла по 30 градусов каждый. Таким образом, мы можем построить прямоугольный треугольник, у которого один угол равен 30 градусов, а противоположный ему катет равен половине основания равнобедренного треугольника:

cssCopy code
         /|
        / |
    c  /  | a
      /   |
     /____|
        b

где c - радиус описанной окружности, a - половина основания равнобедренного треугольника, b - боковая сторона равнобедренного треугольника.

Таким образом, мы можем воспользоваться теоремой синусов для прямоугольного треугольника:

rCopy code
sin(30°) = b / c

Известно, что b = a = 2√3 см. Также, мы можем выразить sin(30°) как 1/2. Тогда:

rCopy code
1/2 = 2√3 / c
c = 4√3 см

Таким образом, радиус описанной окружности равен 4√3 см.