Question

На двух чашах весов разложили гири - 1 г, 2 г, 3 г, ... , 2017 г, 2018 г так, что левая чаша перевесила. Когда сняли одну гирю, перевесила правая. Сняли ещё одну - перевесила левая, и.т.д. В конце концов на весах осталась лишь одна гиря. Какая именно?

Answer 1

Допустим, слева у нас только четные, справа только нечетные гири. Ясно что сейчас четные перевешивают.
Чтобы нечетные стали перевешивать другую, надо убрать самую тяжелую гирю. И продолжая каждый раз убирать по самой тяжелой гире, последней останется гиря в 1г

Answer 2

Давайте обозначим веса гирь как w1, w2, w3, ..., w2017, w2018. Изначально, левая чаша весов перевесила, что означает, что:

w1 + w2 + w3 + ... + w2017 + w2018 > (w1 + w2 + w3 + ... + w2017 + w2018) / 2 + x

где x - вес некоторой гири, которую мы еще не знаем. Это уравнение можно упростить:

w1 + w2 + w3 + ... + w2017 + w2018 > (w1 + w2 + w3 + ... + w2017 + w2018 + 2x) / 2

2(w1 + w2 + w3 + ... + w2017 + w2018) > w1 + w2 + w3 + ... + w2017 + w2018 + 2x

w1 + w2 + w3 + ... + w2017 + w2018 > 2x

x < (w1 + w2 + w3 + ... + w2017 + w2018) / 2

Таким образом, мы знаем, что вес недостающей гири меньше, чем сумма весов всех гирь, деленная на 2.

Когда мы снимаем одну гирю с левой чаши, то правая чаша перевешивает. Это означает, что:

w1 + w2 + w3 + ... + w2017 > (w1 + w2 + w3 + ... + w2017) / 2 + x

w1 + w2 + w3 + ... + w2017 > 2x

Таким образом, мы знаем, что вес недостающей гири меньше, чем сумма весов гирь w1, w2, w3, ..., w2017, деленная на 2.

Когда мы снимаем еще одну гирю с правой чаши, то левая чаша снова перевешивает. Это означает, что:

w1 + w2 + w3 + ... + w2017 + w2018 - x > (w1 + w2 + w3 + ... + w2017 + w2018 - x) / 2

w1 + w2 + w3 + ... + w2017 + w2018 - x > 2(w1 + w2 + w3 + ... + w2017)

2w2018 - x > 2(w1 + w2 + w3 + ... + w2017)

x < 2w2018 - 2(w1 + w2 + w3 + ... + w2017)

x < 2(w2018 - (w1 + w2 + w3 + ... + w2017))

x < 2w1009

Таким образом, мы знаем, что вес недостающей гири меньше, чем двойной вес гири w1009.

Из этих трех неравенств следует, что вес