Question

Пусть x1 и x2 - корни уравнения 2x²+7x+1. Вычислите: x1^5+x2^5

Answer 1

По теореме Виета

x1 + x2 = - b/a = - 7/2 = - 3,5

x1*x2 = c/a = 1/2 = 0,5

Теперь надо разложить x1^5 + x2^5 на комбинацию сумм и произведений.

x1^5 + x2^5 = (x1+x2)(x1^4-x1^3*x2+x1^2*x2^2-x1*x2^3+x2^4) = - 3,5*A

Можете.раскрыть скобки и убедиться, что это так и есть.

Теперь надо в большой скобке выделить суммы и произведения.

A = x1^4+x1^2*x2^2+x2^4-x1*x2*(x1^2+x2^2) =

= x1^4+2x1^2*x2^2+x2^4-x1^2*x2^2-x1*x2*(x1^2+x2^2) =

= (x1^2 + x2^2)^2 - (1/2)^2 - 1/2*(x1^2+x2^2) = A

Я отдельно разложу сумму квадратов

x1^2+x2^2 = x1^2+2x1*x2+x2^2-2x1*x2 = (x1+x2)^2-2x1*x2 = (-3,5)^2-2*1/2 = 12,25-1 = 11,25

Подставляем

x1^5 + x2^5 = -3,5*A = -3,5*(11,25^2 - 1/4 - 1/2*11,25) = -3,5*120,6875 = -422,40625

Answer 2

Мы можем воспользоваться формулой Ньютона-Гирарда, которая позволяет найти суммы степеней корней многочлена. Для многочлена второй степени Ax²+Bx+C с корнями x1 и x2 формула имеет вид:

x1^n + x2^n = (-1)^n * An, где An определен рекурсивно как:

A0 = 2, A1 = -B, An = -A(n-1) - BAn-2 для n > 1.

В нашем случае:

A0 = 2 A1 = -7 A2 = -2*(-7) - 1 = 13 A3 = -213 - (-7)(-7) = -69 A4 = -2*(-69) - 137 = 127 A5 = -2127 - (-69)*(-7) = -697

Таким образом, мы нашли:

x1^5 + x2^5 = (-1)^5 * (-697) = 697.

Ответ: 697.