Question

В городе 3 коммерческих банка, оценка надежности которых – 0,95, 0,9 и 0,85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы: а) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся только два банка; б) что обанкротится хотя бы один банк?

Answer 1

В решении я предполагаю, что под надежностью понимаетс вероятность выстоять в течение года. Тогда решение выглядит так:
Вероятность обанкротиться для первого банка: 1-0,8=0,2
для второго банка: 1-0,85=0,15
для третьего банка: 1-0,95=0,05
Тогда вероятность, что все три обанкротятся будет: 0,2 * 0,15 * 0,05 = 0,0015
Вероятность того, что ни один не обанкротится (то есть все устоят) будет: 0,8 * 0,85 * 0,95 = 0,646
Вероятность того, что обанкротится только один банк, это сумма вероятности того, что обанкротится первый и не обанкротятся второй и третий, вероятности того, что обанкротится второй и не обанкротятся первый и третий и вероятности того, что обанкротится третий и не обанкротятся первый и второй. Получаем:
0,2 * 0,85 * 0,95 + 0,15 * 0,8 * 0,95 + 0,05 * 0,8 * 0,85 = 0,3095

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться формулой Бернулли, которая выглядит следующим образом:

P(k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где:

• P(k) - вероятность того, что произойдет k событий из n возможных
• C(n,k) - количество сочетаний из n по k
• p - вероятность наступления события
• (1-p) - вероятность ненаступления события

а) Вероятность того, что в течение года обанкротятся только два банка можно рассчитать так:

P(2) = C(3,2) * 0.95^2 * 0.05^1 = 0.1282

где:

• C(3,2) = 3 - количество сочетаний из 3 по 2 (выбираем 2 банка из 3-х возможных)
• 0.95^2 = 0.9025 - вероятность того, что оба банка не обанкротятся
• 0.05^1 = 0.05 - вероятность того, что обанкротится третий банк

Ответ: вероятность того, что в течение года обанкротятся только два банка равна 0.1282.

б) Вероятность того, что обанкротится хотя бы один банк можно рассчитать как вероятность того, что не обанкротится ни один банк и вычесть ее из 1:

P(хотя бы один) = 1 - P(ни одного) = 1 - C(3,0) * 0.95^0 * 0.9^0 * 0.85^0 = 1 - 0.002125 = 0.997875

где:

• C(3,0) = 1 - количество сочетаний из 3 по 0 (никакой банк не обанкротится)
• 0.95^0 * 0.9^0 * 0.85^0 = 1 - вероятность того, что ни один банк не обанкротится

Ответ: вероятность того, что обанкротится хотя бы один банк равна 0.997875.