Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: f(x) = x^2-4; y=0; x=2; x=1

Answer 1

$f(x)=x^2-4$

$S=\int\limits^2_1 {x^{2}-4 } \, dx =\frac{1}{3}x^3 -4x |^{2} _{1}=$

$=(\frac{1}{3}*2^3-4*2)-(\frac{1}{3}*1^3-4*1)=(\frac{8}{3} -8)-(\frac{1}{3}-4)=-1\frac{2}{3}$

$S=|-1\frac{2}{3}|=1\frac{2}{3}$

Answer 2

Сначала нарисуем график функции f(x) = x^2-4, чтобы увидеть, как эта функция выглядит:

perlCopy code
    |
    |
    |
    |     .
    |    /
    |   /
    |  /
    | /
 ___|/_____________
    1       2

Пересечение оси x с графиком функции происходит в точках (-2, 0) и (2, 0).

Также даны границы x = 1 и x = 2. Заметим, что область, которую нужно найти, заключена между графиком функции и осью x в интервале [1, 2].

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно взять интеграл функции f(x) на интервале [1, 2]:

scssCopy code
S = ∫[1,2] f(x) dx = ∫[1,2] (x^2-4) dx

Вычислим интеграл:

scssCopy code
S = (x^3/3 - 4x) [от 1 до 2]
S = (2^3/3 - 4*2) - (1^3/3 - 4*1)
S = (8/3 - 8) - (-2/3)
S = 2/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 0, x = 1, x = 2 и графиком функции f(x) = x^2-4, равна 2/3.