Question

Опрос группы студентов показал, что 70% из них любят ходить в кино, 60% в театр, 30% на концерты. В кино и театр ходят 40% студентов, в кино и на концерты – 20%, в театр и на концерты – 10%. Сколько студентов (в %) ходят в кино, театр и на концерты?

Answer 1

Пусть A - множество студентов, которые любят ходить в кино,
В - множество студентов, которые любят ходить в театр,
С - множество студентов, которые любят ходить на концерты.
По условиям |A|=70, |B|=60, |C|=30, |A∩B|=40, |A∩C|=20, |B∩C|=10. 
|A∪B∪C|=100 - т.к. объединение всех множеств дает всех студентов, т.е. 100%.
Формула включений и исключений для трёх множеств: для любых конечных множеств A, B и C справедливо равенство |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Отсюда |A ∩ B ∩ C|= |A ∪ B ∪ C| - |A| - |B| - |C| + |A ∩ B| + |B ∩ C| + |A ∩ C| 
|A ∩ B ∩ C|=100-70-60-30+40+20+10=10
Ответ: 10%  студентов ходят в кино, театр и на концерты

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать методика венн-диаграмм, которая позволяет наглядно представить пересечения множеств.

Пусть S - это множество всех студентов. Тогда по условию:

• число студентов, которые любят ходить в кино = 70% * S
• число студентов, которые любят ходить в театр = 60% * S
• число студентов, которые любят ходить на концерты = 30% * S
• число студентов, которые ходят и в кино и в театр = 40% * S
• число студентов, которые ходят и в кино и на концерты = 20% * S
• число студентов, которые ходят и в театр и на концерты = 10% * S

Пусть K, T, C - это соответственно множества студентов, которые ходят в кино, театр и на концерты. Тогда по условию:

• K ∩ T = 40% * S
• K ∩ C = 20% * S
• T ∩ C = 10% * S

Также мы знаем, что количество студентов, которые ходят только в кино, только в театр и только на концерты равно:

• только K = (70% - 40% - 20%) * S = 10% * S
• только T = (60% - 40% - 10%) * S = 10% * S
• только C = (30% - 20% - 10%) * S = 0% * S

Наконец, количество студентов, которые ходят в кино, театр и на концерты, равно:

• K ∩ T ∩ C = (K ∩ T) ∩ C = 10% * S

Таким образом, процент студентов, которые ходят в кино, театр и на концерты, равен 10%. Ответ: 10%.