Question

Помогите решить Log(2)(x-14)-0,5log(2)(3x-26)=1

Answer 1

log₂(x-14)-0,5*log₂(3x-26)=1

ОДЗ: x-14>0 x>14 3x-26>0 3x>26 x>8²/₃ ⇒ x∈(14;+∞).

log₂(x-14)-log₂(√(3x-26))=1

log₂((x-14)/√(3x-26))=log₂2

(x-14)/√(3x-25)=2

x-14=2*√(3x-26)

(x-14)²=(2*√(3x-26))²

x²-28x+196=4*(3x-26)

x²-28x+196=12x-104

x²-40x+300=0 D=400 √D=20

x₁=30 ∈ОДЗ x₂=10 ∉ОДЗ

Ответ: x=30.

Answer 2

Для решения данного уравнения необходимо преобразовать его с использованием свойств логарифмов и решить полученное уравнение.

1. Применяем свойство логарифма $\log_a(b)-\log_a(c)=\log_a(b/c)$, чтобы объединить два логарифма в левой части уравнения:

$\log_2(x-14) - 0.5 \log_2(3x-26) = \log_2\left(\frac{x-14}{\sqrt{3x-26}}\right) = 1$

2. Применяем свойство логарифма $\log_a(b^c) = c\log_a(b)$, чтобы убрать дробь внутри логарифма:

\log_2(x-14) - \sqrt{3} \log_2(3x-26) = \log_2\left(\frac{x-14}{(3x-26)^\sqrt{3}}\right) = 1

3. Применяем свойство логарифма $\log_a(b) = c \iff a^c = b$, чтобы избавиться от логарифма в обеих частях уравнения:

2^1 = \frac{x-14}{(3x-26)^\sqrt{3}}

4. Решаем полученное уравнение относительно $x$:

2(3x-26)^\sqrt{3} = x - 14

(3x-26)^\sqrt{3} = \frac{x-14}{2}

$3x - 26 = \left(\frac{x-14}{2}\right)^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

$3x = \left(\frac{x-14}{2}\right)^{\frac{1}{\sqrt{3}}} + 26$

$x = \frac{1}{3}\left(\left(\frac{x-14}{2}\right)^{\frac{1}{\sqrt{3}}} + 26\right)$

Это решение не может быть записано в явном виде, но его можно приближенно найти с помощью численных методов.