Question

Докажите, что 13^n + 7*5^n делится на 8 (нацело и без остатка)

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что выражение 13^n + 7*5^n делится на 8 без остатка для любого целого числа n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

1. Базовый случай: n = 0 В этом случае выражение принимает значение 14, которое делится на 8 без остатка.

2. Предположение индукции: Пусть для некоторого целого числа k выражение 13^k + 7*5^k делится на 8 без остатка.

3. Доказательство: Докажем, что выражение также делится на 8 без остатка для k + 1. Мы можем записать: 13^(k+1) + 7*5^(k+1) = 13 * 13^k + 35 * 5^k = 8 * 13^k + 5^k * (28 + 7) Первое слагаемое 8 * 13^k делится на 8 без остатка по предположению индукции, а второе слагаемое 5^k * (28 + 7) также делится на 8 без остатка, так как 5^k делится на 1 при k = 0 и на 5 при k > 0. Значит, 5^k * (28 + 7) делится на 8 без остатка. Следовательно, сумма двух слагаемых также делится на 8 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что выражение 13^n + 7*5^n делится на 8 без остатка для любого целого числа n, используя метод математической индукции.