Question

В коробке 10 карандашей , три из них сломаны. Берут наугад 3 карандаша. Какова вероятность того , что : а)все карандаши будут заточены ; б)один сломан; в)хотя бы два заточены ; г) сломанных менее двух?

Answer 1

10 - 3 = 7 - осталось заточеных карандашей  

а) Р(А) = 3/7

б) Р(А) = 1/3

в)  Р(А) = 2/7

г)  Р(А)  < 2/3

Answer 2

Для решения задачи можно использовать формулу комбинаторики и правило умножения для вероятностей.

а) Вероятность того, что все три карандаша будут заточены, можно вычислить как отношение числа способов выбрать 3 заточенных карандаша к общему числу способов выбрать 3 карандаша:

$$P(\text{все заточены}) = \frac{\binom{7}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}.$$

б) Вероятность того, что ровно один карандаш сломан, можно вычислить как сумму вероятностей того, что выбран будет один сломанный карандаш и два заточенных, и того, что выбраны два сломанных и один заточенный:

$$P(\text{ровно один сломан}) = \frac{\binom{3}{1}\binom{7}{2}}{\binom{10}{3}} + \frac{\binom{3}{2}\binom{7}{1}}{\binom{10}{3}} = \frac{63}{200}.$$

в) Вероятность того, что хотя бы два карандаша будут заточены, можно вычислить как сумму вероятностей того, что выбраны три заточенных карандаша и того, что выбраны два заточенных и один сломанный:

$$P(\text{хотя бы два заточены}) = \frac{\binom{7}{3}}{\binom{10}{3}} + \frac{\binom{7}{2}\binom{3}{1}}{\binom{10}{3}} = \frac{69}{200}.$$

г) Вероятность того, что менее двух карандашей будут сломаны, равна вероятности того, что будут выбраны либо три заточенных, либо два заточенных и один сломанный:

$$P(\text{менее двух сломаны}) = \frac{\binom{7}{3}}{\binom{10}{3}} + \frac{\binom{7}{2}\binom{3}{1}}{\binom{10}{3}} + \frac{\binom{7}{1}\binom{3}{2}}{\binom{10}{3}} = \frac{31}{40}.$$