Question

Найдите последнюю цифру числа 1^2+2^2+⋯+999^2+10002

Answer 1

Как известно
$1^2+2^2+..+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
---при необходимости формула доказывается методом мат.индукции или другим способом

согласно формуле
$1^2+2^2+...+999^2+1000^2=\frac{1000*(1000+1)*(2*1000+1)}{6}=333833500$
последняя цифра ноль

Answer 2

Мы можем использовать тот факт, что последняя цифра числа $n^2$ зависит только от последней цифры $n$. Для последних цифр от $0$ до $9$ мы можем составить таблицу квадратов:

\begin{array}{c|c} n & n^2 \mod{10} \ \hline 0 & 0 \ 1 & 1 \ 2 & 4 \ 3 & 9 \ 4 & 6 \ 5 & 5 \ 6 & 6 \ 7 & 9 \ 8 & 4 \ 9 & 1 \ \end{array}

Мы видим, что последние цифры квадратов чередуются в последовательности $0,1,4,9,6,5$. В частности, последняя цифра квадрата $n$ равна последней цифре $n$ для $n$ равных $1$, $9$, $11$, $19$, $21$, $\ldots$ и оканчивающихся на $1$ или $9$, и равна последней цифре $6$ для $n$ равных $2$, $8$, $12$, $18$, $22$, $\ldots$ и оканчивающихся на $2$ или $8$. Это означает, что последняя цифра суммы $1^2 + 2^2 + \cdots + 999^2$ равна последней цифре $1 + 9 = 10$, то есть $0$.

Таким образом, последняя цифра числа $1^2+2^2+⋯+999^2+10002$ равна последней цифре суммы $0 + 2 = 2$. Ответ: $\boxed{2}$.