Question

Записати рівняння кола , центр якого знаходиться в точці С(1;-1) і пряма 5х-12у+9=0 є дотичною кола.

Answer 1

Пусть уравнение окружности имеет вид $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$, по условию, центр окружности имеет координаты (1;-1), подставляем

$(x-1)^2+(y+1)^2=R^2$          (1)

Из уравнения прямой получим $y=\dfrac{5}{12}x+\dfrac{9}{12}$.

Подставляем в уравнение (1), получим

$(x-1)^2+\left(\dfrac{5}{12}x+\dfrac{9}{12}+1\right)^2=R^2\\ \\ \dfrac{169}{144}x^2-\dfrac{13}{24}x+4.0625-R^2=0$

Прямая 5x - 12 y + 9 = 0 и окружность имеют одну общую точку. Поэтому дискриминант последнего квадратного уравнения нужно приравнять к нулю (имеет один корень).

$\left(-\dfrac{13}{24}\right)^2-4\cdot\dfrac{169}{144}\Big(4.0625-R^2\Big)=0~~~~\Bigg|\cdot 24^2\\ \\ 169+16\cdot169(4.0625-R^2)=0\\ \\ 169(1+65-16R^2)=0\\ \\ 64-16R^2=0~~~|:16\\ \\ 4-R^2=0\\ \\ R^2=4\\ \\ R=\pm2$

Отрицательное значение R = -2 нам не нужен. Подходит R = 2.

Искомое уравнение окружности: $(x-1)^2+(y+1)^2=4$

Answer 2

Для початку, знайдемо координати точки дотику прямої до кола. Оскільки пряма є дотичною до кола, то вектор, що йде від центра кола до точки дотику, є перпендикулярним до прямої.

Запишемо рівняння прямої у вигляді загального рівняння:

5x - 12y + 9 = 0

Перетворимо його до вигляду, зручного для векторного подання:

y = (5/12)x + 3/4

Вектор нормалі до прямої має координати (5, -12), а отже, вектор, що йде від центра кола до точки дотику, має координати, які пропорційні координатам вектора нормалі:

v = k(5, -12)

Для знаходження коефіцієнту k скористаємося фактом, що відстань від центра кола до прямої дорівнює радіусу кола:

d(C, r) = |5(1) - 12(-1) + 9| / sqrt(5^2 + (-12)^2) = 6 / 13

Отже,

|v| = k * sqrt(5^2 + (-12)^2) = 6 / 13

Звідси k = (6 / 13) * (13 / sqrt(5^2 + (-12)^2)) = 6 / 65

Таким чином, вектор, що йде від центра кола до точки дотику, має координати:

v = (5/13, -12/13)

Точка дотику має бути на прямій, а отже, вона задовольняє рівнянню прямої:

(5/12)x + 3/4 = -12/5(x - 1) - 1

Розв'язавши це рівняння, знаходимо координати точки дотику:

x = -1/169, y = -36/169

Радіус кола дорівнює відстані від центру до точки дотику:

r = sqrt((1 - (-1/169))^2 + (-1 - (-36/169))^2) = 36/13

Отже, рівняння кола має вигляд:

(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = (36/13)^2

або після розкриття дужок:

x^2 - 2x + y^2 + 2y -