Question

Какой угол образует с осью абцисс касательная к параболе f(x)=x^2-3x+5, проведённая в точке M0 (2;3)​

Answer 1

Производная функции: $f'(x)=(x^2-3x+5)'=2x-3$.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке или равна тангенсу угла наклона касательной.

В нашем случае, абсцисса точки касания x₀ = 2

$f'(x_0)=k={\rm tg}\, \alpha\\ \\ 2\cdot 2-3={\rm tg}\, \alpha\\ \\ {\rm tg}\, \alpha=1\\ \\ \alpha = 45^\circ$

Ответ: 45°.

Answer 2

угловой коэффициент касательной к графику функции у= f(x)=x²-3x+5, в точке М с абсциссой х₀=2, равен значению производной функции в точке касания. Производная f'(x)=(x²-3x+5)'=2х-3

f'(2)=2²-3=4-3=1

к=1, к=tgα, где α-угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.

График во вложении. α=45°

Answer 3

Для того чтобы определить угол, образованный касательной к параболе и осью абсцисс в точке ее пересечения, нужно найти угол между касательной и горизонтальной прямой, которая параллельна оси абсцисс.

Первым шагом необходимо найти уравнение касательной к параболе в точке M0(2,3). Для этого используем формулу касательной:

y - y0 = f'(x0)(x - x0)

где y0 и x0 - координаты точки на кривой, в которой мы хотим найти касательную, а f'(x0) - производная функции в этой точке.

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 2x - 3

Подставим значения точки M0 в формулу касательной:

y - 3 = (2*2 - 3)(x - 2)

y - 3 = (4 - 3)(x - 2)

y - 3 = x - 2

y = x + 1

Таким образом, уравнение касательной к параболе в точке M0 имеет вид y = x + 1.

Теперь найдем угол между касательной и горизонтальной прямой, которая параллельна оси абсцисс. Так как касательная имеет угол наклона 45 градусов к оси абсцисс (так как ее угловой коэффициент равен 1), то угол между касательной и горизонтальной прямой также составляет 45 градусов.

Таким образом, угол, образованный касательной к параболе и осью абсцисс в точке ее пересечения, равен 45 градусов.