Question

Высоты треугольника соответственно равны 1/4, 1/5, 1/6. Найдите стороны треугольника

Answer 1

Пусть а,b, c стороны , на которые опущены высоты соответственно 1/4, 1/5, 1/6.
Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
S=½a (1/4)
S=½b (1/5)
S=½c (1/6)

поэтому ½a (1/4)=½b (1/5)=½c (1/6)
или a/4=b/5=c/6
пусть это отношение равно n
a/4=b/5=c/6=n
где n€R действительное число
мы видим, что решение будет
а=4n b=5n c=6n,
где n€R действительное число

В частном случае, это а=4, b=5, c=6

Answer 2

Обозначим стороны треугольника через a, b, c. Тогда, согласно свойству высот, верно:

$a\cdot \frac{1}{4}=b\cdot \frac{1}{5}=c\cdot \frac{1}{6}$

Мы можем выбрать произвольную константу, например, общий знаменатель для всех трех дробей. Тогда:

$\frac{1}{4}=\frac{5}{5\cdot 4}=\frac{5}{20}$

$\frac{1}{5}=\frac{4}{4\cdot 5}=\frac{4}{20}$

$\frac{1}{6}=\frac{10}{10\cdot 6}=\frac{10}{60}$

Теперь мы можем записать:

$a\cdot \frac{5}{20}=b\cdot \frac{4}{20}=c\cdot \frac{10}{60}$

или

$a\cdot 5=b\cdot 4=c\cdot \frac{1}{6}$

Отсюда можно выразить одну из сторон, например, a:

$a=\frac{b\cdot 4}{5}=\frac{c\cdot \frac{1}{6}\cdot 4}{5}=\frac{c}{30}$

Теперь мы можем выразить все стороны через c:

$a=\frac{c}{30}$

$b=\frac{c\cdot 5}{4}$

$c=c$

Таким образом, стороны треугольника равны:

$a=\frac{c}{30}$

$b=\frac{c\cdot 5}{4}$

$c=c$

Ответ: стороны треугольника равны $\frac{c}{30}$, $\frac{c\cdot 5}{4}$ и c, где c - произвольное положительное число.