Question

В кафе готовят коктейль из малинового и ананасового соков. Известно, что X литров малинового сока стоят М рублей, а Y литров ананасового – К рублей. Сколько литров каждого сока надо взять, чтобы приготовить S литров коктейлей общей стоимостью Р рублей?

Answer 1

1 литр Малинового стоит M/X руб. 1 литр Ананасового стоит K/Y руб.
Мы берем а литров Малинового и (S-a) литров Ананасового. Получаем:
a*M/X + (S - a)*K/Y = P
Отсюда нужно выразить а.
a*(M/X - K/Y) + S*K/Y = P
a*(M*Y - K*X)/(X*Y) = P - S*K/Y = (P*X*Y - S*K*X)/(X*Y)
a = (P*X*Y - S*K*X) / (M*Y - K*X) (литров Малинового)
S - a = (S*M*Y - S*K*X - P*X*Y + S*K*X) / (M*Y - K*X) =
= (S*M*Y - P*X*Y) / (M*Y - K*X) (литров Ананасового)

Answer 2

Предположим, что мы возьмем $x$ литров малинового сока и $y$ литров ананасового сока, чтобы приготовить $s$ литров коктейля.

Тогда стоимость малинового сока будет равна $Mx$, а стоимость ананасового сока будет равна $Ky$. Суммарная стоимость коктейля будет равна $P$. Из этого можно составить систему уравнений:

$$\begin{cases} Mx + Ky = P \\ x + y = s \end{cases}$$

Решим эту систему уравнений методом подстановки. Разрешим второе уравнение относительно $y$:

$y = s - x$

Затем подставим это выражение в первое уравнение:

$Mx + K(s-x) = P$

Раскроем скобки:

$Mx + Ks - Kx = P$

Перенесем все слагаемые с $x$ на одну сторону:

$(M-K)x = P-Ks$

Наконец, выразим $x$:

$x = \frac{P-Ks}{M-K}$

Теперь можем найти $y$:

$y = s - x = s - \frac{P-Ks}{M-K} = \frac{(M-K)s - P}{M-K}$

Итак, чтобы приготовить $s$ литров коктейля общей стоимостью $P$ рублей, необходимо взять $\frac{P-Ks}{M-K}$ литров малинового сока и $\frac{(M-K)s - P}{M-K}$ литров ананасового сока.