Question

Три станка–автомата разной мощности должны изготовить по 800 деталей. Сначала запустили первый станок, спустя 20 мин – второй, а еще через 35 мин –третий. Каждый из них работал без сбоев и остановок, причем в ходе работы был момент, когда каждый станок выполнил одну и ту же часть задания. На сколько минут раньше второго станка закончил работу третий, если первый справился с заданием через 1 ч 28 мин после третьего?

Answer 1

Пусть производительность первого станка х деталей в минуту, второго – у деталей в минуту, третьего – z деталей в минуту.
Пусть первый станок проработал t минут и изготовил xt деталей. Второй станок проработал на 20 минут меньше и изготовил у(t–20) деталей. Третий станок проработал (t–55) минут и изготовил z(t–55) деталей.
Так как по условию "в ходе работы был момент, когда каждый станок выполнил одну и ту же часть задания", то
xt=y(t–20)=z(t–55).

xt=y(t–20) ⇒ t=20y/(y–x)
xt=z(t–55) ⇒ t=55z/(z–x)

20y/(y–x)=55z/(z–x) ⇒ 20y(z–x)=55z(y–x) ⇒

4y(z–x)=11z(y–x);
4yz–4xy=11yz–11xz;
11xz=7yz+4xy;
y=11xz/(7z+4x).

800/x минут – время работы первого;
800/у минут – время работы второго;
800/z минут – время работы третьего.

По условию первый справился с заданием через 1 ч 28 мин после третьего.
Уравнение:
(800/х)–(800/z)=1 час 28 минут
800(z–x)/xz=88 ⇒ 
(z–x)/xz=88/800
Найти:
(800/х)–(800/у)=?
800(y–x)/xy=?
Подставим вместо y=11xz/(7z+4x)
получим
800•7(z–x)/11xz=(5600/11)•(z–x)/xz=
=(5600/11)•(88/800)=56 минут.
О  т в е т. Через 56 минут после третьего закончил работу второй.

Answer 2

Обозначим через $x$ время работы первого станка, через $y$ — второго, через $z$ — третьего. Так как каждый из станков должен изготовить по 800 деталей, то можем записать:

$800/x+800/y+800/z=1.$

Здесь единица означает выполнение всего задания.

Также мы знаем, что первый станок закончил работу через 1 ч 28 мин после третьего, то есть через $88$ минут. Тогда можем записать уравнение:

$\frac{800}{x}+\frac{800}{y}=\frac{800}{z}+\frac{800}{y}+\frac{800}{z}+\frac{800}{x+20}+\frac{800}{y+35}.$

Здесь мы учли, что первый станок работал $x+20$ минут после запуска второго, а второй работал $y+35$ минут после запуска третьего.

Разрешим уравнение относительно $z$:

$\frac{800}{z}=\frac{800}{x}+\frac{800}{y}-\frac{800}{y}-\frac{800}{x+20}-\frac{800}{y+35}.$

Упростим:

$\frac{800}{z}=\frac{800}{x+20}+\frac{800}{y+35}.$

Теперь подставим известные значения и решим уравнение:

$\frac{800}{z}=\frac{800}{x+20}+\frac{800}{y+35}=\frac{800}{88+20}+\frac{800}{y+35}.$

$\frac{800}{z}=\frac{800}{108}+\frac{800}{y+35}.$

$\frac{800}{z}=\frac{100}{27}+\frac{800}{y+35}.$

$\frac{800}{z}-\frac{800}{y+35}=\frac{100}{27}.$

$\frac{800(y+35)-800z}{z(y+35)}=\frac{100}{27}.$

$27(800y+28000-800z)=100z(y+35).$

$21600y+756000-21600z=25zy+3500z.$

$25zy+21600z=21600y+756000-3500z.$

$25zy+25100z=21600y+756000.$

$z=\frac{21600y+756000}{25y+25100}.$

Теперь найдем $y$. Заметим, что второй станок выполнил одну треть задания за время работы третьего станка, то есть через $z-35$ минут после своего запуска. Тогда можем записать уравнение:

$\frac{800}{y}=\frac{800}{z-35}+\frac{800}{x+20}.$

Подставляем выражение для $z$:

$$$$