Question

Исследовать ф-цию и построить её график f(x)=-x^4+8x

Answer 1

Дана функция  f(x) = -x^4+8x.

Общая схема для построения графиков функций

1. Найти область определения функции D(y): x ∈ (-∞; +∞).

2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

 - с осью Оу при х = 0. Получаем у = 0 (точка О(0; 0)).

 - с осью Ох при у = 0.

 Надо приравнять:

-x^4+8x = 0,
-4х(х³ - 2) = 0. 
Получаем 2 значения х = 0 и х = ∛2.
Точки: (0; 0) и (∛2; 6∛2).

3. Исследовать функцию на четность или нечетность.

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений:

f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
- x^{4} + 8 x ≠ - x^{4} - 8 x.
- x^{4} + 8 x ≠ - -1 x^{4} - - 8 x.
- Нет, значит, функция не является ни чётной ни нечётной

4. Исследовать функцию на периодичность - не периодична.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0 (производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
 y' = - 4 x^{3} + 8 = 0.
Корни этого ур-ния
x_{1} = \sqrt[3]{2}
Значит, экстремум (он один) в точке: (∛2; 6∛2).

х =   1       1,259921          2
y' =  4              0               -24.

Это максимум, так как производная переходит от плюса к минусу

 Интервалы возрастания и убывания функции:

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. 
Убывает на промежутках (-∞; 2^(1/3)].
Возрастает на промежутках [2^(1/3); ∞).

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

Вторая производная равна -12х².

Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
Поэтому график только выпуклый.

7. Найти асимптоты функции - их нет.

8. По результатам исследования построить график - дан в приложении .

Answer 2

Для начала, найдем производную функции f(x)=-x^4+8x:

f'(x) = -4x^3 + 8

Чтобы найти экстремумы функции, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-4x^3 + 8 = 0

4x^3 = 8

x^3 = 2

x = ∛2 ≈ 1.26

Теперь, найдем значения функции в точках x=0, x=1.26 и x=2 (так как ф-ция симметрична относительно оси y и у нее есть только один экстремум, который находится между x=1 и x=2).

f(0) = 0

f(1.26) ≈ 6.15

f(2) = -16

Теперь мы можем построить график функции. Для этого построим таблицу значений функции в нескольких точках на интервале [-3, 3]:

x	f(x)
-3	-108
-2	-32
-1	-9
0	0
1	8
1.26	6.15
2	-16
3	-81

Затем, построим график, используя эти значения:

График показывает, что функция имеет один экстремум, который находится между x=1 и x=2 и равен примерно 6.15. Функция является четной и имеет симметрию относительно оси y. Также, функция стремится к бесконечности при x → ±∞.