Question

Для очередного покрывала Оле нужны прямоугольники из разных тканей с периметром 70 см. Может ли такой прямоугольник иметь сторону, равную 41 см? 2. Для изготовления красивой наволочки на подушку в технике пэчворк Оле нужны прямоугольники с площадью 36 кв.см. Сколько существует различных вариантов таких прямоугольников, если сторона не может быть меньше 3 см? 3. А для одеяла в этой же технике Оля делает заготовки из ткани. От любого прямоугольника она каждый раз отрезает квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника. После нескольких таких действий у нее осталось 2 больших квадрата, 3 квадрата поменьше разной величины и 2 квадрата со стороной 1 см. Какими были размеры исходного прямоугольника ткани?

Answer 1

1) Нет. Периметр P=2a+2b=70.
Если a=41, то 2a=82 > 70.
2) Если хотя бы одна сторона должна быть целой, то: 36=3*12=3,6*10=4*9=4,5*8=5*7,2=6*6.
Всего 6 вариантов.
А если обе стороны должны быть целыми, то 3 варианта.
3) Сначала был прямоугольник x*y, x < y.
От него Оля отрезала 2 больших квадрата x*x.
y = 2x + k
Остался прямоугольник k*x, k < x. Отрезала квадрат k*k.
x = k + m
Остался прямоугольник m*k, m < k. Отрезала квадрат m*m.
k = m + n
Остался прямоугольник n*m, n < m. Отрезала квадрат n*n.
m = n + p
Получилось 3 меньших квадрата разной величины.
Остался p*n, который Оля разрезала на 2 квадрата 1*1.
Значит, p = 1; n = 2. Тогда
m = n + p = 2 + 1 = 3
k = m + n = 3 + 2 = 5
x = k + m = 5 + 3 = 8
y = 2x + k = 2*8 + 5 = 21
Ответ: у Оли был прямоугольник 8*21 см.

Answer 2

1. Нет, такой прямоугольник не может иметь сторону, равную 41 см, так как периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его сторон:

   2 * (длина + ширина) = 70 см

   длина + ширина = 35 см

   Если одна сторона равна 41 см, то другая должна быть меньше 35 - 41 = -6 см, что невозможно.

2. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон, поэтому мы можем перебрать все возможные комбинации сторон и выбрать только те, которые дают площадь 36 кв. см и при этом не имеют сторон меньше 3 см.

   Возможные стороны прямоугольника (в см) с площадью 36 кв.см:

   2 x 18, 3 x 12, 4 x 9, 6 x 6

   Всего существует 4 различных варианта прямоугольников.

3. Обозначим исходные размеры прямоугольника как x и y. Если от x и y последовательно отрезать квадраты со стороной, равной меньшей стороне, то мы получим последовательность квадратов, пока не останется два больших квадрата и несколько меньших квадратов.

   Значит, мы можем записать следующее уравнение:

   x - y = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2 + g^2

   где a, b, c, d, e, f, g - длины сторон квадратов, которые мы отрезали от исходного прямоугольника.

   Также известно, что сумма площадей всех квадратов, которые мы отрезали от прямоугольника, равна площади исходного прямоугольника:

   a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2 + g^2 + 2 * (a + b + c + d + e + f + g) + x * y = x * y

   Подставим первое уравнение во второе и упростим:

   a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2 + g^2 + 2 * (a + b + c + d + e + f + g) + (x - y) * y = x * y

   Так как известно, что осталось два больших квадрата со стор