Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2x^3+3x^2+2 на отрезке [-2;1]

Answer 1

F(x)=2x^3+3x^2+2
f"(x)=6x^2+6x
f"(x)=0,    6x^2+6x=0
               6x(x+1)=0
                x=0,    x=-1 точки принадлежат [-2;1]. функция принимает наибольшее и наименьшее значения либо на концах интервала или в критических точках первой производной.
На координатной прямой отмечаем  -1 и 0. Разбиваем на интервалы, где производная сохраняет знак. получим;   + - +. Функция возрастает, затем
убывает и снова возрастает. Происходит смена знака в точке х=-1 с + на -, это max, в точке х=0 с - на+, это min
f(-1)=-2+3+2=3 наибольшее 
f(0)=2 наименьшее

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на отрезке [-2,1] нужно:

1. Найти значения функции на границах отрезка, т.е. при x=-2 и x=1.
2. Найти точки, где производная функции равна нулю (критические точки).
3. Определить, являются ли найденные точки максимумами или минимумами, используя знак производной в окрестности этих точек.
4. Сравнить найденные значения функции в точках границ отрезка и в критических точках и выбрать наибольшее и наименьшее из них.

Таким образом, начнем с первого шага:

1. f(-2) = 2*(-2)^3 + 3*(-2)^2 + 2 = -12 + 12 + 2 = 2 f(1) = 2*(1)^3 + 3*(1)^2 + 2 = 2 + 3 + 2 = 7

2. Найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

f'(x) = 6x^2 + 6x

6x^2 + 6x = 0 6x(x + 1) = 0 x = 0 или x = -1

3. Чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, нужно исследовать знак производной в окрестности каждой точки.

Для x < -1: f'(x) < 0 => f(x) убывает Для -1 < x < 0: f'(x) > 0 => f(x) возрастает Для x > 0: f'(x) > 0 => f(x) возрастает

Таким образом, x=-1 является точкой максимума, а x=0 - точкой минимума.

4. Теперь сравним значения функции в точках границ отрезка и в критических точках:

f(-2) = 2, f(-1) = 3, f(0) = 2, f(1) = 7

Следовательно, наибольшее значение функции равно 7 и достигается в точке x=1, а наименьшее значение функции равно 2 и достигается в точках x=-2 и x=0.