Question

Решить предел lim sin^2 7x/xtg2x x-0

Answer 1

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ

Answer 2

Для решения этого предела нам понадобится использовать несколько свойств тригонометрических функций и правило Лопиталя.

Начнем с преобразования выражения в числительной части:

sin^2(7x) = (1 - cos(14x)) / 2

Заменим sin^2(7x) в исходном выражении и упростим его:

lim (1/2) * (1 - cos(14x)) / (x * tan(2x)) x->0

lim (1/2) * (1 - cos(14x)) / (x * sin(2x)/cos(2x)) x->0

lim (1/2) * (1 - cos(14x)) * (cos(2x)/x) / sin(2x) x->0

Теперь мы можем применить правило Лопиталя, которое гласит, что если предел функции f(x) / g(x) при x -> a существует и равен L, и пределы f'(x) / g'(x) при x -> a существуют и равны M, то предел f(x) / g(x) при x -> a также существует и равен M.

Применяя это правило к исходному выражению, получим:

lim 7sin(14x) * cos(2x) / (2sin(2x) + xcos(2x)) x->0

Теперь мы можем подставить x = 0 в выражение в знаменателе и получить:

lim 7sin(0) * cos(0) / (2sin(0) + 0cos(0)) x->0

lim 0 / 0

Так как получили неопределенность вида 0 / 0, то можем применить правило Лопиталя снова, получив:

lim 7cos(14x) * cos(2x) / (2cos(2x)) x->0

lim (7/2) * cos(14x) / cos(2x) x->0

Теперь мы можем подставить x = 0 и получить итоговый ответ:

lim (7/2) * cos(0) / cos(0) x->0

lim 7/2

Ответ: 7/2.