Question

Автомобиль и автобус выехали одновременно навстречу друг другу из населенных пунктов на расстоянии 280км. Скорость автомобиля на 20км/ч больше средней скорости автобуса. Найдите скорость каждого если автобус сделал остановку на пол часа.

Answer 1

Примем за х скорость грузовика, а расстояние, которое он прошел за 2,5 часа (т.к. он полчаса стоял, то 3-0,5=2,5) будет равно 2,5х
тогда скорость автомобиля х+20 (на 20км/ч больше, чем у грузовика), расстояние будет равно 3(х+20)=3х+60
тогда сумма этих двух выражений должна быть равна 280км (т.к. они встретились), т.е.
2,5х+3х+60=280,
5,5х=220,
х=40(км/ч) - скорость грузовика,
скорость автомобиля на 20 больше, т.е 40+20=60км/ч

Answer 2

Пусть $v$ - скорость автобуса в км/ч. Тогда скорость автомобиля будет равна $v + 20$ км/ч. Обозначим время движения автобуса до остановки как $t_1$, время остановки как $0,5$ часа, а время движения после остановки как $t_2$. Тогда время движения автомобиля составит $t_1 + t_2$, и учитывая, что автобус и автомобиль встретились в середине пути, получаем уравнение:

$$v t_1 + \frac{1}{2} v = (v+20)t_2 + \frac{1}{2} (v+20) \\$$

Также известно, что расстояние между населенными пунктами составляет 280 км. Следовательно,

$$v t_1 + (v + 20) (t_1 + t_2) = 280 \text{ км}$$

Теперь можно выразить $t_2$ из первого уравнения:

$$t_2 = \frac{v t_1 + \frac{1}{2} v - \frac{1}{2} (v+20)}{v+20} = \frac{2v t_1 - 10}{2(v+20)}$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$v t_1 + (v+20)\left(\frac{2v t_1 - 10}{2(v+20)}\right) = 280 \text{ км}$$

Упростим:

$$v t_1 + v t_1 - 10 = 280 \\ 2 v t_1 = 290 \\ t_1 = \frac{145}{v}$$

Теперь можно найти скорости автомобиля и автобуса:

$$v = \frac{280}{t_1 + t_2} = \frac{280}{\frac{145}{v} + \frac{2(145)}{2(v+20)} - \frac{10}{v+20}} = \frac{40600}{729+v^2}$$

Полученное уравнение можно решить численно. Например, используя метод Ньютона. Или же можно заметить, что $v$ должно быть примерно равно 70 км/ч, и подставить это значение в уравнения для $t_1$ и $t_2$:

$$t_1 = \frac{145}{70} \approx 2.07 \text{ часа} \\ t_2 = \frac{2v t_1 - 10}{2(v+20)} \approx 1.43 \text{ часа}$$

Скорость автобуса составляет $v \approx 70$ км/ч, а скорость автомобиля - $v + 20 \approx 90$ км/ч.