Question

Знайти похідні першого порядку y= x arcsin 2x

Answer 1

Применим формулу: (UV)'= U'V + UV'

y = xarcSin2x

y'=x'*arcSin2x + x*(arcSin2x)' = 1*arcSin2x + x* 2/√(1 - 4x²)=

= arcSin2x +2x/√(1 - 4x²)

Answer 2

Для знаходження похідної функції використаємо правило диференціювання добутку двох функцій:

(d/dx)(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Застосовуючи це правило до функції y = x arcsin(2x), отримуємо:

y' = x (d/dx)(arcsin(2x)) + (d/dx)(x) arcsin(2x)

Для обчислення цих двох похідних нам знадобиться диференційна формула для оберненої тригонометричної функції:

(d/dx)(arcsin(u)) = 1 / sqrt(1 - u^2)

Таким чином, маємо:

(d/dx)(arcsin(2x)) = 1 / sqrt(1 - (2x)^2) = 1 / sqrt(1 - 4x^2)

(d/dx)(x) = 1

Підставляючи ці значення у вираз для y', отримуємо:

y' = x / sqrt(1 - 4x^2) + arcsin(2x)

Отже, похідна функції y = x arcsin(2x) дорівнює x / sqrt(1 - 4x^2) + arcsin(2x).