Question

В корзине лежат 50 разноцветных шариков. Докажите что среди них найдется либо 8 шариков одного цвета, либо 8 шариков разных цветов.

Answer 1

Пусть в корзине нет 8 шаров одного цвета
Тогда возможно все они разного цвета, либо по 7 шаров одного цвета. Тогда получаем, что 50 = 7 цвета1 + 7 цвета2 + 7 цвета3 + 7 цвета4 +7 цвета5 + 7 цвета6 + 7 цвета7 + 1 цвета8. Имеем, что в данном случае у нас минимум 8 цветов, максимум - 50.
Аналогично, если в корзине нет 8 шаров разного цвета, имеем, что в корзине минимум 8 шаров одного цвета, максимум - 50.

Answer 2

Для решения данной задачи можно использовать принцип Дирихле (или принцип ящиков).

Представим, что у нас есть 8 ящиков, и мы будем раскладывать шарики по этим ящикам в соответствии с их цветом. Поскольку всего цветов у нас не более, чем 8, то каждый цвет будет соответствовать одному ящику.

Теперь, когда мы начинаем раскладывать шарики по ящикам, мы можем рассмотреть два случая:

1. Если в одном ящике окажется 8 шариков, то это будет означать, что все эти шарики имеют один и тот же цвет, так как каждый ящик соответствует только одному цвету. Мы нашли 8 шариков одного цвета.

2. Если ни в одном ящике не окажется 8 шариков одного цвета, то это означает, что каждый ящик будет содержать не более 7 шариков. Поскольку у нас всего 8 ящиков, то в общей корзине будет не более 8 x 7 = 56 шариков. Но мы знаем, что в корзине лежит 50 шариков. Значит, хотя бы в одном ящике должно быть больше, чем 6 шариков. Но это означает, что в этом ящике есть как минимум 7 разных цветов шариков. Мы нашли 8 шариков разных цветов.

Таким образом, мы доказали, что в любом случае среди 50 разноцветных шариков найдется либо 8 шариков одного цвета, либо 8 шариков разных цветов.