Question

Найдите корень уравнения (1/2)^x-5=16^x

Answer 1

Ответ:

1.

Пошаговое объяснение:

Если условие было таким (1/2)^(x-5)=16^x, то ниже приведено решение:

(1/2)^(x-5)=16^x

(2^(-1))^(x-5)=(2^4)^x

при возведении степени в степень основание оставляем прежним, а показатели перемножаем:

(2^(-1))^(x-5)=(2^4)^x

2^(-х +5) = 2^(4х)

-х + 5 = 4х

5 = 5х

х= 1

Выполним проверку полученного результата:

(1/2)^(1-5)=16^1

(1/2)^(-4)=16

16 = 16 - верно.

Ответ: 1.

Answer 2

Мы можем решить это уравнение, используя логарифмы. Возьмем логарифм по основанию 2 от обеих сторон уравнения:

scssCopy code
log2((1/2)^x - 5) = log2(16^x)

С помощью свойств логарифмов мы можем переписать правую сторону:

scssCopy code
log2((1/2)^x - 5) = x * log2(16)

Мы знаем, что log2(16) = 4, поэтому:

scssCopy code
log2((1/2)^x - 5) = 4x

Заметим, что левая сторона логарифма определена только тогда, когда (1/2)^x - 5 > 0, то есть (1/2)^x > 5. Это означает, что x должен быть отрицательным, так как (1/2)^x убывает по мере увеличения x.

Теперь мы можем решить уравнение, используя обратную функцию логарифма:

scssCopy code
(1/2)^x - 5 = 2^(4x)
(1/2)^x = 2^(4x) + 5
x = log2(2^(4x) + 5)

Мы не можем решить это уравнение аналитически, но мы можем найти приближенное значение x с помощью численных методов, например, метода половинного деления или метода Ньютона. Используя метод половинного деления, мы можем получить приближенный ответ:

cssCopy code
Начальный интервал: [-10, 0]
1. Положим x = -5
   (1/2)^x - 5 = 16^x - 5 ≈ -5
   2^(4x) + 5 ≈ 31
   x > log2(31) ≈ 4.9542
2. Положим x = -7.5
   (1/2)^x - 5 = 16^x - 5 ≈ 3331.45
   2^(4x) + 5 ≈ 5.00093
   x < log2(5.00093) ≈ 2.3205
3. Положим x = -6.25
   (1/2)^x - 5 = 16^x - 5 ≈ 338.16
   2^(4x) + 5 ≈ 18.134
   x < log2(18.134) ≈ 4.1601
4. Положим x = -5.625
   (1/2)^x - 5 = 16^x - 5 ≈ -45.287
   2^(4x) + 5 ≈ 39.401
   x ≈ log2(39.401) ≈ 5.2639

Таким образом, корень уравнения примерно равен