Question

Петя пришёл в школу, когда его электронные часы показывали 8:00, а вышел из школы в 12:00. В какой-то момент, будучи ещё в школе, Петя заметил, что если рассматривать двоеточие между цифрами на часах как знак деления, то частное окажется целым. Через пять минут Петя посмотрел на часы ещё раз, и частное снова оказалось целым! Чему будет равно частное ещё через пять минут?

Answer 1

Я решал методом подбора: он посмотрел на часы в 10:05 , через пять минут было 10:10 а ещё через пять минут 10:15 если разделить 10 на 15=0,66666667

Answer 2

Пусть $t$ -- количество минут, прошедших с 8:00 до того момента, когда Петя заметил свой "математический" факт. Тогда мы можем представить время этого момента в виде $8:00 + \frac{t}{60}$ часов.

Петя заметил, что $\frac{t}{a}$ целое, где $a$ -- число между 1 и 60 (это все возможные значения делителя при делении 60 нацело). Мы можем записать это как:

$\frac{t}{a} = k$

где $k$ -- целое число.

Тогда $t = ak$, и время в этот момент можно записать как $8:00 + \frac{ak}{60}$.

Через 5 минут (т.е. $t+5$ минут после 8:00), время на часах будет:

$8:00 + \frac{t+5}{60} = 8:00 + \frac{ak+5}{60}$

Мы хотим найти такое $b$ между 1 и 60, чтобы $\frac{ak+5}{b}$ было целым числом. Заметим, что если $\frac{ak}{b}$ целое число, то $\frac{ak+5}{b}$ также будет целым, только если $b$ делит $5$ (в противном случае, $\frac{ak+5}{b}$ будет иметь нецелую дробную часть).

Мы знаем, что $a$ и $k$ такие, что $\frac{ak}{b}$ целое число, поэтому $b$ должно быть множителем $5$ (но не $1$ или $60$, так как они уже не подходят). Таким образом, возможными значениями $b$ являются $5$, $10$, $15$, $20$, $30$ и $45$.

Теперь мы можем проверить каждое из этих значений, подставив их в формулу $\frac{ak+5}{b}$ и проверив, является ли результат целым числом:

• Если $b=5$, то $\frac{ak+5}{b} = \frac{ak}{5} + 1$. Заметим, что $a$ не делится на $5$, поэтому $\frac{ak}{5}$ не целое число, и $\frac{ak+5}{5}$ не может быть целым числом.
• Если $b=10$, то $\frac{ak+5}{b} = \frac{ak}{10} + \frac{1}{2}$. Заметим, что $a$ не делится на $2$, поэтому $\frac{ak}{10}$ не целое число, и $\frac{ak+5}{10}$ не может быть целым числом.
• Если $b=15$, то $\frac{ak+5}{b} = \frac{ak}{15} + \frac{1