Question

АВС – равносторонний треугольник со стороной 1 см. Найдите все точки плокости,для каждой из которых наибольшее из расстояний до вершин этого треугольника равно 1 см

Answer 1

Из вершины А треугольника АВС, как из центра окружности, радиуса 1, проводим дугу, соединяющую вершины В и С, точно так же поступаем для вершин В и С.  В результате получим замкнутую кривую, состоящую из трех дуг окружностей, радиуса 1. Любая точка этой кривой и будет искомой  точкой. 
Рисунок приведен во вложении.

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится построить окружность с центром в одной из вершин треугольника ABC и радиусом 1 см. Пусть это будет вершина A, тогда мы получим окружность с центром в точке A и радиусом 1 см.

Заметим, что наибольшее расстояние от точки на плоскости до вершины треугольника равно расстоянию от этой точки до ближайшей вершины окружности с центром в вершине треугольника A и радиусом 1 см.

Таким образом, все точки плоскости, для которых наибольшее из расстояний до вершин треугольника ABC равно 1 см, должны лежать на окружности с центром в точке A и радиусом 1 см.

Построим эту окружность на координатной плоскости. Для этого выберем систему координат так, чтобы вершина A имела координаты (0,0), а вершины B и C лежали на оси x с координатами (-0.5, 0) и (0.5, 0) соответственно.

Уравнение окружности с центром в точке A и радиусом 1 см имеет вид: x^2 + y^2 = 1

Таким образом, все точки плоскости, для которых наибольшее из расстояний до вершин треугольника ABC равно 1 см, лежат на данной окружности.