Question

Помогите плиз решить!Задание спасибо. 3. Настя написала на доске три целых числа. Влад возвел первое число в квад- рат, второе – в куб, третье умножил на 27, а затем сложил полученные числа. В результате у него получилось число, на 272727 большее суммы чисел, записанных Настей. Докажите, что Влад ошибся. 4. Имеется восемь одинаковых на вид монет. Среди них есть две одинаковые фальшивые монеты, отличающиеся по весу от настоящих, но неизвестно, в какую сторону. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь разбить все монеты на две группы по четыре монеты так, чтобы в каждой из групп была бы ровно одна фальшивая монета? 5. Является ли число 1111112111111 простым? (Простым называется число, ко- торое имеет ровно два делителя: 1 и само это число.)

Answer 1

3)

Обозначим эти числа x,y,z

Если Влад не ошибся, то

x^2 + y^3 + 27z = 272727 + x + y + z

26z = 272727 + (x^2 - x) + (y^3 - y)

26z - четное число

272727 - нечетное

x^2-x - четное (если x четное, то x^2 четное, и разность четных тоже четная, а если x нечетный, то и x^2 нечетный, а разность двух нечетных четная)

y^3-y - четное (аналогично)

т.е. 272727 + (x^2-x) + (y^3-y) нечетные число (нечет. + чет. + чет. = нечет.)

Получаем равенство четного и нечетного - противоречие - Влад ошибся.

4)

Разобьем 8 монет на 4 подгруппы по 2 монеты, обозначим их (1), (2), (3), (4)

Проведем два взвешивания:

(1)+(2) с (3)+(4)

(1)+(3) с (2)+(4)

Две фальшивые монеты могли попасть либо в две разные подгруппы, или в одну

Если в две разные:

Если это (1) и (3), (1) и (4), (2) и (3) или (2) и (4) - получаем равенство при первом взвешивании

Если это (1) и (2) или (3) и (4) - получаем равенство при втором

Заметим, что если при взвешивании двух групп по 4 монеты было получено равенство, задача решена (получено нужное разбиение - на разных чашах весов)

Если же оба раза равенства не было, это означает, что обе монеты находятся в одной подгруппе.

Тогда в качестве первой группы из 4 монет возьмем одну монету из (1), одну монету из (2), одну монету из (3) и одну монету из (4). Оставшиеся - во второй группе.

Тогда, т.к. обе фальшивые монеты были в одной подгруппе, а ни одна группа не содержит двух монет из одинаковой подруппы, обе они содержат по одной фальшивой монете.

5)

1111112111111 = 1111111 * 1000001

Answer 2

3. Обозначим числа, записанные на доске, как a, b и c. Тогда уравнение, записанное условием, имеет вид:

a^2 + b^3 + 27c = (a + b + c) + 272727

Перенесем все члены справа налево и сгруппируем:

a^2 - a + b^3 - b + 27c - c = 272727

Теперь заметим, что каждый из трех членов слева является разностью двух кубов, а именно:

a^2 - a = a(a-1) b^3 - b = b(b^2 - 1) = b(b-1)(b+1) 27c - c = 26c = 213c

Таким образом, уравнение может быть переписано в следующем виде:

a(a-1) + b(b-1)(b+1) + 213c = 272727

Посмотрим на левую часть этого уравнения. Каждый из трех слагаемых является произведением двух чисел, причем каждый из множителей меньше, чем само число. Это означает, что произведение a(a-1), b(b-1)(b+1) и 213c не может превышать (8-1)*(8-2)213 = 2184. С другой стороны, число 272727 гораздо больше 2184, поэтому равенство уравнения не может быть выполнено. Следовательно, Влад ошибся.

4. Разобьем монеты на три группы по три монеты в каждой. Положим на весы две из этих групп. Если они весят одинаково, то фальшивые монеты находятся в третьей группе. Если одна из групп весит меньше другой, то фальшивые монеты находятся в этой группе.

Допустим, фальшивые монеты находятся в первой группе. Обозначим монеты в этой группе как A, B и C. Положим на весы A и B. Если они весят одинаково, то фальшивая монета находится в третьей монете C. Если A и B весят по-разному, то фальшивая монета находится в одной из них. Пусть без ограничения общности A легче, чем B. Тогда фальшивая монета находится в A.

Допустим теперь, что фальшивые монеты находятся во второй группе. Аналогично предыдущему случаю, можно п