Question

1)найдите площадь кольца,заключенного между вписанной в треугольник окружность и описанной около этого треугольника окружностью,если каждая сторона этого треугольника равна 6см. 2) дана функция y=f(x) , у которой  x min= -1,y=min1 xmax = 2 y max =4  найдите точки экстремума и экстремумы функции y= -2f(x+1)

Answer 1

Решение первого:
Площадь кольца - разность между площадями описаной и впис. окружностей:
S=  $\pi R^{2} - \pi r^{2} = \pi (R^{2}-r^{2})$
Находим радиус вписанной окружности r, а R=2r:
r= $\sqrt{3} / 6 * a$, тогда r - корень из трех.
S=  $\pi ( 4*3-3) = 9\pi$

Answer 2

1. Обозначим радиусы вписанной и описанной окружностей через r и R соответственно. Тогда по формуле радиуса вписанной окружности в треугольнике равнобедренном относительно основания получим, что $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см. Также известно, что в треугольнике со сторонами длины 6 см описанная окружность имеет радиус $R = \frac{3\sqrt{3}}{3}$ см. Тогда площадь кольца между этими окружностями можно найти по формуле:

$S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3\pi}{4}$ кв.см.

Ответ: $S = \frac{3\pi}{4}$ кв.см.

2. Для нахождения экстремумов функции $y = -2f(x+1)$ сначала найдем экстремумы функции $f(x+1)$. Так как у функции $f(x)$ минимум достигается при $x=-1$, то минимум функции $f(x+1)$ будет достигаться при $x=0$. Аналогично, так как у функции $f(x)$ максимум достигается при $x=2$, то максимум функции $f(x+1)$ будет достигаться при $x=1$. Таким образом, точки экстремумов функции $y=-2f(x+1)$ будут соответствовать точкам $x=0$ и $x=1$, а экстремумы будут иметь противоположные знаки и в два раза больший модуль, чем соответствующие экстремумы функции $f(x+1)$. Если минимум функции $f(x+1)$ равен $m$, а максимум равен $M$, то минимум функции $y=-2f(x+1)$ будет равен $2m$, а максимум будет равен $-2M$. Таким образом, точка экстремума функции $y=-2f(x+1)$ при $x=0$ будет минимумом и равна $2m$, а точка экстремума при $x=1$ будет максимумом и равна $-2M$.

Ответ: точка минимума функции $y=-2f(x+1)$ при $x=0$ равна $2m$, а точка максимума при $x=1$ равна $-2M$.