Question

Докажите,что p^2 больше 4q,если известно,что 1+p+q меньше 0

Answer 1

Рассмотрим уравнение  $x^2+px+q=0.$  График функции

$f(x)=x^2+px+q,$

стоящей в правой части - парабола, ветви ее направлены вверх, поскольку старший коэффициент положительный. 
Кроме того, по условию f(1)=1+p+q<0, а значит парабола дважды пересечет ось OX, что говорит о том, что уравнение имеет два решения. Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена строго положителен, то есть 

$D=p^2-4q\ \textgreater \ 0\Rightarrow p^2\ \textgreater \ 4q,$

что и требовалось доказать.

Answer 2

По условию задачи, известно, что 1 + p + q < 0. Это означает, что p + q < -1.

Также, известно, что p и q являются положительными числами (так как, если бы хотя бы одно из них было отрицательным, то было бы не выполнено условие p^2 > 4q).

Докажем, что p^2 > 4q, используя предположение, что p + q < -1:

p^2 - 4q = p^2 - 4(p + q) + 4p = p^2 - 4p - 4q + 4p = (p - 2)^2 - 4q + 4

Таким образом, мы можем переписать неравенство, которое нужно доказать, в виде:

(p - 2)^2 > 4q - 4

Заметим, что левая сторона этого неравенства всегда положительна (так как p является положительным числом). Также, мы можем заметить, что правая сторона неравенства 4q - 4 также всегда отрицательна (так как p + q < -1, и q является положительным числом).

Таким образом, мы можем заключить, что:

(p - 2)^2 > 4q - 4 < 0

Из этого следует, что (p - 2)^2 > 0, что подразумевает, что:

p^2 - 4p + 4 > 0

Это эквивалентно тому, что:

p^2 > 4p - 4 = 4(p - 1)

Таким образом, мы доказали, что p^2 > 4q, если известно, что 1 + p + q < 0.