Question

Помогите выбрать правильный ответ Сos(2x-π/3)=1/2 1) π/6+(-1)nπ/6+πn, nϵz 2) π/6+(-1)nπ/12+πn/2, nϵz 3) π/6+(-1)nπ/12+πn, nϵz 4) π/6+(-1)nπ/12+2πn, nϵz

Answer 1

$\cos\left(2x-\frac\pi3\right)=\frac12\\2x-\frac\pi3=\pm\frac\pi3+2\pi n\\2x-\frac\pi3=\begin{cases}\frac\pi3+2\pi n\\-\frac\pi3+2\pi n\end{cases}\\2x=\begin{cases}\frac{2\pi}3+2\pi n\\2\pi n\end{cases}\\x=\begin{cases}\frac\pi3+\pi n\\\pi n\end{cases},\;n\in\mathbb{Z}$

Ни один ответ не подходит, откуда делаем вывод, что это всё-таки синус:
$\sin\left(2x-\frac\pi3\right)=\frac12\\2x-\frac\pi3=(-1)^n\cdot\frac\pi6+\pi n\\2x=\frac\pi3+(-1)^n\cdot\frac\pi6+\pi n\\x=\frac\pi6+(-1)^n\cdot\frac\pi{12}+\frac{\pi n}2,\;n\in\mathbb{Z}$

Ответ 2.

Answer 2

Мы можем решить уравнение, используя формулу двойного угла:

cos(2x - π/3) = 1/2 cos(2x)cos(π/3) - sin(2x)sin(π/3) = 1/2 (2cos²(x) - 1)(1/2) - 2sin(x)cos(x)(√3/2) = 1/2 cos²(x) - sin(x)cos(x)√3 - 1/4 = 0 (2cos(x) - √3sin(x))^2 = 1/4 + 3/4 2cos(x) - √3sin(x) = ±√2/2 cos(x) - √3/2sin(x) = ±1/2√2

Заменяем sin(x) на √(1 - cos²(x)):

cos(x) - √3/2√(1 - cos²(x)) = ±1/2√2

Умножаем обе части на 2√2:

2√2cos(x) - √6√(1 - cos²(x)) = ±1

Возводим обе части в квадрат:

8cos²(x) - 6(1 - cos²(x)) = 1 14cos²(x) = 7 cos(x) = ±1/√2

Теперь мы можем решить уравнение для x:

cos(x) = 1/√2 x = π/4 + 2πn, nϵz

или

cos(x) = -1/√2 x = 3π/4 + 2πn, nϵz

Теперь мы можем подставить каждое значение x в исходное уравнение и решить для n:

Для x = π/4 + 2πn:

cos(2x - π/3) = cos(π/2 - π/6) = cos(π/3) = 1/2 n четное или нечетное

Для x = 3π/4 + 2πn:

cos(2x - π/3) = cos(3π/2 - π/6) = cos(5π/6) = -1/2 n четное или нечетное

Итак, мы можем записать решения уравнения в виде:

π/4 + 2πn + (-1)^nπ/6, nϵz или 3π/4 + 2πn + (-1)^nπ/6, nϵz

Таким образом, правильный ответ - вариант (1) π/6+(-1)^nπ/6+πn, nϵz.