Question

Решите уравнение,пожалуйста! 2cos²x-1=sinx

Answer 1

2(1-sinx*sinx)-1=sinx
1-sinx*sinx-sinx=0
sinx*sinx+sinx-1=0
sinx=t
решаем квадратное уравнение
 у меня получилось ,что корней нет

Answer 2

Мы можем использовать тригонометрические тождества для переписывания обеих сторон уравнения в терминах функций косинуса или синуса, чтобы получить уравнение, которое легче решить. В данном случае мы можем использовать тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ для замены $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$:

$2\cos^2 x - 1 = \sin x$ $2\cos^2 x - 1 = \sqrt{1 - \cos^2 x}$ $4\cos^4 x - 8\cos^2 x + 4 = 1 - \cos^2 x$

Объединяя подобные слагаемые и перенося все члены в одну сторону уравнения, мы получаем квадратное уравнение:

$4\cos^4 x - 9\cos^2 x + 3 = 0$

Заметим, что это квадратное уравнение относительно $\cos^2 x$. Для решения можно сделать замену $t = \cos^2 x$:

$4t^2 - 9t + 3 = 0$

Факторизуя это квадратное уравнение, мы получаем:

$(4t - 3)(t - 1) = 0$

Таким образом, $t = \frac{3}{4}$ или $t = 1$. Возвращаясь к исходному уравнению, мы получаем:

$\cos^2 x = \frac{3}{4} \qquad \text{или} \qquad \cos^2 x = 1$

Отсюда следует, что $\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x = \pm 1$. Подставляя эти значения в исходное уравнение, мы получаем четыре решения:

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = 2\pi n, \quad x = \pi + 2\pi n$

где $n$ - любое целое число.