Question

Помогите решить интеграл ∫sinx*cos^4*x dx

Answer 1

Заносим синус под знак дифференциала

$-\int {\cos^4 x} \, d(\cos x)=-\frac{1}{5} \cos^5 x + C$

Answer 2

Для решения данного интеграла можно воспользоваться методом интегрирования по частям.

Пусть u = cos^4(x) и dv = sin(x)dx, тогда du/dx = -4cos^3(x)sin(x) и v = -cos(x).

Применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем:

∫sin(x)cos^4(x) dx = -cos^4(x)cos(x) + 4∫cos^3(x)sin^2(x) dx

Далее, воспользовавшись тождеством sin^2(x) = 1 - cos^2(x), можно свести интеграл к виду:

4∫cos^3(x)(1-cos^2(x)) dx = 4∫cos^3(x)dx - 4∫cos^5(x)dx

Следовательно, получаем:

∫sin(x)cos^4(x) dx = -cos^4(x)cos(x) + 4/3cos^3(x) - 4/5cos^5(x) + C,

где C - произвольная постоянная.