Question

Сколько существует двузначных чисел, которые при перестановке цифр увеличиваются не менее, чем в два раза?

Answer 1

Решил?

Если да то пришли ответ пожалуйста.

Answer 2

Двузначное число можно записать в виде $10a+b$, где $a$ и $b$ - цифры числа. Если при перестановке цифр число увеличивается не менее, чем в два раза, то должно выполняться неравенство $10b+a \geq 2(10a+b)$, что эквивалентно $9b \geq 19a$. Так как $a$ и $b$ являются цифрами, то $a \in {1,2,3,4,5,6,7,8,9}$, а $b \in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$.

Для каждого значения $a$ нужно найти максимальное значение $b$, удовлетворяющее неравенству $9b \geq 19a$. Из этого неравенства следует, что $b \geq \frac{19}{9}a$. Так как $b$ должно быть целым числом, максимально возможное значение $b$ равно наибольшему целому числу, не превосходящему $\frac{19}{9}a$. Таким образом, для каждого $a$ количество возможных значений $b$ равно количеству целых чисел от $\left\lceil \frac{19}{9}a \right\rceil$ до 9 включительно.

Таким образом, общее количество двузначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, равно:

$\sum_{a=1}^9 \left(10 - \left\lceil \frac{19}{9}a \right\rceil + 1\right)$

Вычислим это выражение:

\begin{align*} \sum_{a=1}^9 \left(10 - \left\lceil \frac{19}{9}a \right\rceil + 1\right) &= (10-2+1)+(10-3+1)+(10-4+1)+(10-6+1)+(10-7+1)\ &\quad +(10-9+1)+(10-11+1)+(10-12+1)+(10-14+1)\ &= 10 \cdot 9 - (2+3+4+6+7+9+11+12+14) + 9 \ &= 54 \end{align*}

Таким образом, существует 54 двузначных числа, которые при перестановке цифр увеличиваются не менее, чем в два раза.