Question

СРОЧНО!!! ИССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ И ПОСТРОИТЬ ГРАФИК!y=x^3-12x^2+36x ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!

Answer 1

ДАНО:Y(x) = x^3 -12*x² +36*x +()

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ.  

Разложим многочлен на множители. Y=(x-0)*(x-6)*(x-6)

Нули функции: Х₁ =0, Х₂ =6,  Х₃ =6

3. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;0].  Положительная -Y(x)>0 X∈[0;+∞)

4. Пересечение с осью OY. Y(0) = 0.  

5. Исследование на чётность.  

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

6. Первая производная.    Y'(x) =  3*x²  -24*x + 36 = 0

Корни Y'(x)=0.     Х4=2   Х5=6

Положительная парабола -  отрицательная между корнями

7. Локальные экстремумы.  

Максимум  Ymax(X4=2) =32.   Минимум Ymin(X5=6) =0

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;2;]U[6;+∞) , убывает - Х∈[2;6]

9. Вторая производная - Y"(x) = 6* x -24 = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=4

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=4]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=4; +∞).

11. График в приложении.

Дополнительно: шаблон для описания графика.

Answer 2

Хорошо, чтобы построить график функции y = x^3 - 12x^2 + 36x, вам нужно выполнить следующие шаги:

1. Определить интервалы, на которых будет находиться график функции.
2. Найти точки экстремума функции.
3. Найти точки пересечения графика функции с осью Ox и Oy.
4. Нарисовать график функции на основе полученной информации.

Теперь выполним эти шаги по порядку.

1. Интервалы, на которых будет находиться график функции

Для того, чтобы определить интервалы, на которых будет находиться график функции, мы должны найти корни уравнения y = x^3 - 12x^2 + 36x. Для этого решим уравнение:

x^3 - 12x^2 + 36x = 0

x(x^2 - 12x + 36) = 0

x(x - 6)^2 = 0

Отсюда получаем два корня: x = 0 и x = 6.

Таким образом, интервалы, на которых будет находиться график функции, будут следующие:

(-∞, 0), (0, 6), и (6, +∞).

2. Точки экстремума функции

Чтобы найти точки экстремума функции, мы должны найти производную функции и приравнять ее к нулю:

y' = 3x^2 - 24x + 36

3(x^2 - 8x + 12) = 0

3(x - 6)(x - 2) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x = 2 и x = 6.

3. Точки пересечения графика функции с осью Ox и Oy

Для того, чтобы найти точки пересечения графика функции с осью Ox и Oy, мы должны приравнять y к нулю и x к нулю соответственно:

y = 0

x^3 - 12x^2 + 36x = 0

x(x^2 - 12x + 36) = 0

Отсюда мы получаем три точки пересечения с осью Ox: (0, 0), (6, 0), и (6, 0).

Также, чтобы найти точку пересечения с осью Oy, мы можем подставить x = 0 в исходную функцию:

y = 0^3 - 12(0)^2 + 36(0) = 0

Отсюда мы получаем точку пересечения с осью Oy: (0, 0).

4. Построение графика функции

Теперь, имея всю необходимую информацию, мы можем постро