Question

Имеются три числа. Известно, что произведение первого числа на второе оканчивается на ноль, а произведение первого числа на третье и произведение второго числа на третье оканчиваются не на ноль. Может ли сумма всех трёх чисел оканчиваться на 3?

Answer 1

Если произведение 2х чисел оканчивается на ноль, то есть делится на 10, значит из этих чисел хотя бы одно делится на 5, то есть оканчивается на 5 или 0,  и хотя бы одно делится на 2, то есть оканчивается на 2,4,6,8 или 0.  Но произведения каждого их этих чисел с третьим не делится на 10, поэтому  одно из чисел делится на 2, а другое - на 5, значит третье число не делится ни на 2, ни на 5 (иначе какое-то произведение этого числа с оставшимся будет делиться на 10). Следовательно,  третье число оканчивается на 1,3,7 или 9. Тогда сумма трех чисел будет оканчиваться на 5+четное+нечетное = четное число, то есть она не может оканчиваться на 3.

Answer 2

Да, сумма всех трех чисел может оканчиваться на 3.

Поскольку произведение первого числа на второе оканчивается на ноль, то одно из этих чисел должно быть четным, а другое — кратным 5. При этом, произведение первого числа на третье и произведение второго числа на третье не оканчиваются на ноль, поэтому третье число не должно быть кратным 2 или 5.

Допустим, что сумма всех трех чисел оканчивается на 3. Это означает, что остаток от деления суммы на 10 равен 3. Мы можем записать это как:

(a + b + c) ≡ 3 (mod 10),

где a, b и c - первое, второе и третье число соответственно.

Поскольку одно из чисел a или b должно быть четным, а другое — кратным 5, то сумма a + b может иметь остаток от деления на 10 только 0, 2, 4, 6 или 8.

Таким образом, мы можем представить сумму a + b как:

a + b ≡ k (mod 10),

где k - одно из чисел 0, 2, 4, 6 или 8.

Заметим, что в этом случае третье число c должно иметь остаток от деления на 10, отличный от 0 и от остатка k. Допустим, что остаток от деления c на 10 равен l, где l - одно из чисел 1, 3, 7 или 9.

Тогда произведение a и c имеет остаток от деления на 10, равный последней цифре произведения a и l. Поскольку произведение a и l не оканчивается на ноль, оно имеет остаток от деления на 10, отличный от нуля. Таким образом, остаток от деления произведения a и c на 10 не может быть равен нулю.

Аналогично, произведение b и c имеет остаток от деления на 10, равный последней цифре произведения b и l. Поскольку произведение b и l не оканчивается на ноль, оно имеет остаток от деления на 10, отличный от нуля. Таким образом, остаток от деления произведения b и c на 10 также не может быть равен нулю.

Итак, мы получили, что произведение a и c, произведение b и c и произведение a и b оканчиваются не на ноль. Таким образом, сумма