Question

Найдите значение выражения sin^3x+cos^3x, если sinx+cosx=a

Answer 1

Sinx+cosx=a
sin³x+cos³x=(3a-a³)/2

1. sin³x+cos³x=(sinx+cosx)*(sin²x-sinx*cosx+cos²x)=(sinx+cosx)*(1-sinx*cosx)

2. (sinx+cosx)²=a²
(sinx+cosx)²=sin²x+2sinx*cosx+cos²x=1+2sinx*cosx
1+2sinx*cosx=a²
sinx*cosx=(a²-1)/2

3. sin³x+cos³x=a*(1-(a²-1)/2)=a*(2-a²+1)/2=a*(3-a²)/2=(3a-a³)/2

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой суммы кубов:

a^3 = (a - b)^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3

где b = sinx*cosx.

Заметим, что sin^2x + cos^2x = 1, поэтому

a^2 = (sinx + cosx)^2 = sin^2x + 2sinxcosx + cos^2x = 1 + 2b.

Таким образом, мы можем выразить b через a:

b = (a^2 - 1) / 2.

Теперь мы можем вычислить sin^3x + cos^3x:

sin^3x + cos^3x = (sinx + cosx)(sin^2x - sinxcosx + cos^2x) - 3sinx*cosx(sin^2x + cos^2x)

= a(1 - b) - 3b

= a - 4b/2

= a - 2(a^2 - 1)

= -2a^2 + 2a + 2.

Таким образом, значение выражения sin^3x + cos^3x равно -2a^2 + 2a + 2.