Question

Найдите производную функцию Y(x) =1/2sin^2(2x+п)​

Answer 1

$y(x)=\frac{1}{2}\cdot sin^2(2x+\pi )\\\\y'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2\, sin(2x+\pi )\cdot (sin(2x+\pi ))'=sin(2x+\pi )\cdot cos(2x+\pi )\cdot 2=\\\\\star \; \; 2\cdot sina\cdot cosa=sin2a\; \; \star \\\\=sin(2\cdot (2x+\pi ))=sin(\underbrace {4x+2\pi }_{T=2\pi })=sin4x\\\\ili\\\\y(x)=\frac{1}{2}\cdot sin^2(2x+\pi )\\\\\star \; \; sin(\pi +a)=-sina\; \; ,\; \; (-sina)^2=(sina)^2=sin^2a\; \; \star \\\\y(x)=\frac{1}{2}\cdot sin^22x\\\\y'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2\, sin2x\cdot cos2x\cdot 2=2\, sin2x\cdot cos2x=sin4x$

Answer 2

Для нахождения производной данной функции, используем формулу производной композиции функций:

(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

где f(x) = 1/2 * sin^2(x), g(x) = 2x + π.

Тогда:

Y'(x) = f'(g(x)) * g'(x), где f'(x) = sin(x) * cos(x)

Подставляем значения:

Y'(x) = sin(2x + π) * cos(2x + π) * 2

Замечаем, что sin(2x + π) = -sin(2x), а cos(2x + π) = -cos(2x), тогда:

Y'(x) = -sin(2x) * cos(2x) * 2 = -sin(4x)

Таким образом, производная функции Y(x) равна -sin(4x).