Question

Экскаватор должен вырыть котлован за определенное время. Если он будет вынимать в час на 200м^3 грунта больше, то работа будет закончена на 10часов раньше графика. Если же экскаватор будет вынимать за каждый час на 100м^3 меньше нормы. то работа будет выполнена на 10 часов позже, чем положена по графику. Найти объем котлована и часовую норму выработки экскаватора.

Answer 1

Объём котлована x куб.м., норма выработки экскаватора y куб.м./час.
По графику время работы составляет  $\frac xy$ часов.
При повышении нормы выработки на 200 куб.м./час время работы составит  $\frac x{y+200}$ часов, что на 10 часов дольше работы по графику:  $\frac xy-\frac x{y+200}10$.
При снижении нормы выработки на 100 куб.м./час время работы составит  $\frac x{y-100}$ часов, что на 10 часов больше работы по графику:  $\frac x{y-100}-\frac x{y}=10$.
Составим и решим систему:
$\begin{cases}\frac xy-\frac x{y+200}=10\\\frac x{y-100}-\frac xy=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{xy+200x-xy}{y^2+200y}=10\\\frac{xy-xy+100x}{y^2-100y}=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{200x}{y^2+200y}=10\\\frac{xy-xy+100x}{y^2-100y}=10\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}200x=10y^2+2000y\\100x=10y^2-1000y\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{y^2}{20}+10y\\5y^2+1000y=10y^2-1000y\end{cases}$
$5y^2+1000y=10y^2-1000y\\5y^2-2000y=0\;\;\div5\\y^2-400y=0\\y(y-400)=0\\y\neq0\Rightarrow y=400\\\\\begin{cases}x=12\;000\\y=400\end{cases}$

Ответ: объём котлована 12 000 куб.м., норма выработки 400 куб.м./час.

Answer 2

Пусть объем котлована равен V, а часовая норма выработки экскаватора - x м^3/ч.

Тогда время, за которое экскаватор выкопает весь котлован при нормальной часовой норме, будет равно V/x.

Если экскаватор будет вынимать в час на 200м^3 грунта больше, то время работы будет на 10 часов меньше графика. То есть:

V/x - V/(x+200) = 10

Разрешая это уравнение относительно V/x, получим:

V/x = (10x+2000)/3

Аналогично, если экскаватор будет вынимать за каждый час на 100м^3 меньше нормы, то время работы будет на 10 часов больше графика. То есть:

V/x - V/(x-100) = -10

Разрешая это уравнение относительно V/x, получим:

V/x = (10x-1000)/3

Сравнивая эти два выражения для V/x, получаем:

(10x+2000)/3 = (10x-1000)/3 + 100

Откуда x = 600 м^3/ч.

Подставляя значение x в любое из двух выражений для V/x, найдем объем котлована:

V/x = (10x+2000)/3 = (10*600+2000)/3 = 4000 м^3.

Итак, объем котлована равен 4000 м^3, а часовая норма выработки экскаватора составляет 600 м^3/ч.