Question

Сколькими нулями заканчивается произведение первых 2016 натуральных чисел?

Answer 1

Произведение первых 2016 чисел - это факториал,
2016! = 1*2*3*...*2015*2016
Нули в факториалах появляются только от множителей 5 и 2.
Число 2 содержит каждое четное число, а 5 - каждое пятое.
Поэтому имеют значение только множители 5. Посчитаем.
От 5 до 2015 ровно (2015-5)/5 + 1 = 403 числа, делящихся на 5.
От 25 до 2000 ровно 80 чисел, делящихся на 25 (2 пятерки).
От 125 до 2000 ровно 16 чисел, делящихся на 125 (3 пятерки).
От 625 до 1875 ровно 3 числа, делящихся на 625 (4 пятерки).
Получаем 403 + 80 + 16 + 3 = 502 пятерки.
Ответ: 502 нуля.

Answer 2

Для того чтобы определить, сколько нулей находится в конце произведения первых 2016 натуральных чисел, мы должны разложить каждое из этих чисел на простые множители и выяснить, сколько раз присутствует множитель 2 и сколько раз присутствует множитель 5 в этих разложениях.

Поскольку 10 = 2 × 5, то количество нулей в конце произведения зависит только от того, сколько раз присутствует множитель 10 = 2 × 5 в разложении чисел. Чтобы получить множитель 10, число должно содержать множители 2 и 5. Поскольку в каждом пятом числе содержится множитель 5, а в каждом втором числе содержится множитель 2, то в каждом десятом числе содержится множитель 10. Поэтому нам нужно выяснить, сколько десятков содержится в произведении первых 2016 чисел.

Количество десятков в произведении первых 2016 чисел равно:

⌊2016/10⌋ + ⌊2016/100⌋ + ⌊2016/1000⌋ + ⌊2016/10000⌋ + ⌊2016/100000⌋

где символ ⌊x⌋ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x.

Вычислив каждое из слагаемых, мы получим:

⌊2016/10⌋ = 201 ⌊2016/100⌋ = 20 ⌊2016/1000⌋ = 2 ⌊2016/10000⌋ = 0 ⌊2016/100000⌋ = 0

Суммируя эти значения, мы получаем, что количество десятков в произведении первых 2016 чисел равно 223. Таким образом, произведение первых 2016 натуральных чисел закан