Question

Вычислить интеграл dx/x^2-7x+1

Answer 1

Решение: 
1)1 /(x^2-7x+10) = 1/3 * ( 1/(x-5) – 1/(x-2)) , тогда 
Инт (dx/(x^2-7x+10)) = 1/3*(Инт (dx/(x-5) -Инт (dx/(x-2) ) = 1/3* ln|(x-5)/(x-2)|+С . 
2) 
1/(x^2-6x )= 1/6(1/(x-6) -1/x) , тогда : 
Инт (dx/(x^2-6x ) = 1/6(Инт (dx/(x-6)+ Инт (dx/x))= 1/6* ln|(x-6)/x| +C 
Ответ: 1) /3* ln|(x-5)/(x-2)|+С , 
2) 1/6* ln|(x-6)/x| +C

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫(dx / (x^2 - 7x + 1)), мы можем воспользоваться методом частичных дробей.

Сначала найдем корни знаменателя x^2 - 7x + 1. Для этого решим квадратное уравнение:

x^2 - 7x + 1 = 0

Применяя квадратное уравнение, получим:

x = (7 ± √(49 - 411)) / 2 x = (7 ± √(49 - 4)) / 2 x = (7 ± √45) / 2

Таким образом, корни знаменателя равны:

x1 = (7 + √45) / 2 x2 = (7 - √45) / 2

Теперь представим исходную функцию в виде суммы простых дробей:

1 / (x^2 - 7x + 1) = A / (x - x1) + B / (x - x2)

Домножим обе части на (x - x1)(x - x2) и приведем к общему знаменателю:

1 = A(x - x2) + B(x - x1)

Теперь найдем значения A и B. Для этого подставим значения x1 и x2 в уравнение:

1 = A((x1 - x2) - x2) + B((x1 - x2) - x1) 1 = A(x1 - x2) - Ax2 + B(x1 - x2) - Bx1 1 = (A + B)(x1 - x2) - (A + B)x2

Таким образом, получаем систему уравнений:

1 = (A + B)(x1 - x2) 0 = - (A + B)x2

Решая эту систему уравнений, найдем:

A + B = 1 / (x1 - x2) A = - B

Подставив второе уравнение в первое, получаем:

-B + B = 1 / (x1 - x2) 0 = 1 / (x1 - x2)

Таким образом, знаменатель не может быть равен нулю, поэтому A и B обращаются в ноль, и функция принимает вид:

1 / (x^2 - 7x + 1) = 0

Теперь можем вычислить интеграл:

∫(dx / (x^2 - 7x + 1)) = ∫(0) = C

Где C - произвольная постоянная.