Question

После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватит. При укладывании по 8 плиток в ряд остаётся один не полный ряд, а при укладывании по 9 плиток тоже остаётся неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?

Answer 1

Ужас... Какая длинная задача!

Answer 2

Обозначим через $x$ общее количество плиток, оставшихся после строительства дома.

Так как укладывание в ряд по 10 плиток не возможно, то мы можем использовать это условие для написания неравенства:

$x < 10$

Далее, если укладывать плитки по 8 в ряд, то останется один не полный ряд. Это означает, что оставшееся количество плиток $x$ должно быть на 1 больше, чем количество плиток в этом неполном ряду. То есть:

$x \equiv 1 \pmod{8}$

Наконец, при укладывании по 9 плиток в ряд остается неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Это означает, что разница между количеством плиток в неполном ряду при укладывании по 9 и 8 должна быть равна 6. То есть:

$(x-1) \equiv (x-7) \pmod{9}$

Решая эту систему неравенств, получаем:

$x \equiv 1 \pmod{8}$ $x \equiv 4 \pmod{9}$

Решение этой системы с помощью китайской теоремы об остатках дает:

$x \equiv 37 \pmod{72}$

Ответ: осталось $37$ плиток.