Question

Рассеянный почтальон случайным образом разносит 4 письма по четырем адресатам. Найдите вероятность того, что к адресату по­падет: 1) ровно одно письмо, 2) ровно два письма, 3) ровно три письма, 4) ровно четыре письма, 5) хотя бы одно письмо?

Answer 1

Общее число исходов - 4*4=16
1)  $\frac{1}{16}$ = 0,0625
2)  $\frac{2}{16}$ = 0,125
3)  $\frac{3}{16}$ = 0,1875
4)  $\frac{4}{16}$ = 0,25

Answer 2

Здесь у нас есть 4 письма и 4 адресата, поэтому всего существует $4! = 24$ возможных способа доставить письма.

1. Ровно одно письмо попадет к адресату, тогда нужно выбрать одно письмо и одного адресата, чтобы к нему попало, а остальные два письма доставить двум оставшимся адресатам. Это можно сделать $4 \cdot 3 = 12$ способами, поэтому вероятность равна $12/24 = 1/2$.

2. Ровно два письма попадут к адресату, тогда нужно выбрать два письма и двух адресатов, к которым они попадут, а остальные два письма доставить двум оставшимся адресатам. Это можно сделать ${{4}\choose{2}} \cdot {{2}\choose{2}} = 6$ способами, поэтому вероятность равна $6/24 = 1/4$.

3. Ровно три письма попадут к адресату, тогда нужно выбрать три письма и одного адресата, к которому они попадут, а оставшееся письмо доставить оставшемуся адресату. Это можно сделать ${{4}\choose{3}} \cdot {{1}\choose{1}} \cdot {{3}\choose{1}} = 4 \cdot 1 \cdot 3 = 12$ способами, поэтому вероятность равна $12/24 = 1/2$.

4. Ровно четыре письма попадут к адресату, тогда нужно выбрать все четыре письма и одного адресата, к которому они попадут. Это можно сделать ${{4}\choose{4}} \cdot {{1}\choose{1}} = 1$ способом, поэтому вероятность равна $1/24$.

5. Хотя бы одно письмо попадет к адресату. Можно рассмотреть противоположное событие: все письма оказываются недоставленными. Количество способов доставить письма так, чтобы ни одно не попало к адресату, равно количеству перестановок 4 писем среди 4 адресатов, т.е. $4!$. Таким образом, вероятность того, что все письма останутся недоставленными, равна $4!/4! = 1$. Следовательно, вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет к адресату, равна $1 -