Question

У Влада есть набор карточек с записанными на них числами: на одной карточке написано 10, на двух — 7, на четырёх — 4, на шестнадцати — 1. Он хочет выбрать некоторые из этих карточек и сложить из них квадрат 4×4 так, чтобы суммы чисел во всех столбцах и строках были одинаковы и равны S. Какое наибольшее значение может принимать S?

Answer 1

У меня получилась максимальная сумма 7.
4 1 1 1
1 4 1 1
1 1 4 1
1 1 1 4
Вставить две 7 и одну 10 я не смог.
Но, оказывается, возможна сумма 10
1 1 1 7
1 4 4 1
1 4 4 1
7 1 1 1
Спасибо Александру за подсказку!

Answer 2

Давайте сначала найдем общую сумму всех чисел на карточках. Она равна:

10 + 2×7 + 4×4 + 16×1 = 10 + 14 + 16 + 16 = 56.

Так как квадрат 4×4 имеет 4 строки и 4 столбца, каждая строка и каждый столбец должны иметь сумму чисел, равную S/4.

Общая сумма чисел в квадрате равна S×4, поэтому мы можем записать уравнение:

S×4 = 56 + 7a + 4b + c,

где a, b и c — это количество карточек с числами 7, 4 и 1, соответственно. Обратите внимание, что 7a, 4b и c — это сумма чисел на соответствующих карточках.

Мы также знаем, что S должно быть кратно 4, чтобы каждая строка и каждый столбец имели одинаковую сумму чисел.

Максимальное значение S будет достигаться, когда наибольшее количество карточек с числами 7 и 4 будет использовано, а оставшиеся карточки будут заполнены числами 1.

Максимальное количество карточек с числами 7, которые можно использовать, равно 2 (иначе сумма чисел на карточках превысит 56).

Максимальное количество карточек с числами 4, которые можно использовать, равно 3 (иначе сумма чисел на карточках превысит 56).

Таким образом, мы можем рассмотреть несколько случаев:

1. Используем 2 карточки с числами 7 и 3 карточки с числами 4. Тогда:

S×4 = 56 + 2×7 + 3×4 + 4×1 = 56 + 14 + 12 + 4 = 86,

и максимальное значение S равно 86/4 = 21.5. Однако S должно быть кратно 4, поэтому ближайшее целое кратное 4 число, меньшее или равное 21.5, равно 20.

2. Используем 2 карточки с числами 7 и 2 карточки с числами 4. Тогда:

S×4 = 56 + 2×7 + 2×4 + 4×2 + 4×1 = 56 + 14 + 8 + 8 + 4 = 90,

и максимальное значение S равно 90/4 = 22.5. Ближайшее целое кратное 4 число, меньшее или равное 22.5, равно