Question

Sin(п-a)*cos(п/2-a)+cos2a

Answer 1

Объясню преобразование каждого множителя по порядку:
1) sin(п-а) преобразуем по формулам приведения.
Если прибавляется 180° или п (2п, 3п и т.д.), тригонометрическая функция остаётся та же. Что же касается знака «-» перед а – он вычисляется по окружности.
У синуса значения положительные в 2-х верхних четвертях и отрицательные в нижних. Отмечаем нашу точку П, и ведём пальцем в стороны уменьшения по окружности (вправо), как будто мы вычитаем эту самую а. Смотрим: какой знак у sin в этой четверти, так знак и оставляем.
Получается sin а.
2) Если прибавляется 90° или п/2 (3п/2, 5п/2 и т.д.), функция меняется на противоположную (sin на cos, cos на sin, tg на ctg и наоборот). Теперь смотрим на окружность: отмечаем П/2 и ведём опять же в сторону уменьшения, вправо, т.к. у нас –а (если бы было +а, для определения знака нужно было бы вести в сторону увеличения – влево). Смотрим, какой знак у косинуса в данной плоскости (а у косинуса положительный в правых четвертях и отрицательные в левых).
Исходя из всего вышесказанного, cos(п/2 –а) = sin а.

3) cos2а – это формула двойного угла. Её можно записать в 3-х видах (2 последние выводятся из первой):
cos(2a) = cos^2(a) – sin^2(a)
cos(2a) = 1 – 2sin^2(a)
cos(2a) = 2cos^2(a) – 1
Думаю, в нашем случае больше подойдёт вторая формула.

Итак. Вот что у нас получилось:

Sin(п-а)*cos(п/2 –а)+cos2а = sin(a)*sin(a)+(1-2sin^2(a)) = sin^2(a) +1 – 2sin^2(a) = 1 – sin^2(a) = cos^2(a)

[Исходя из основной тригонометрической формулы sin^2(a) + cos^2(a) = 1]

Answer 2

To simplify the given expression, let's break it down step by step.

sin(π - a) = sin(π)cos(a) - cos(π)sin(a) Since sin(π) = 0 and cos(π) = -1, we have: sin(π - a) = 0*cos(a) - (-1)*sin(a) = sin(a)

cos(π/2 - a) = cos(π/2)cos(a) + sin(π/2)sin(a) Since cos(π/2) = 0 and sin(π/2) = 1, we have: cos(π/2 - a) = 0cos(a) + 1sin(a) = sin(a)

cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) Using the identity cos^2(a) + sin^2(a) = 1, we can rewrite cos(2a) as: cos(2a) = 1 - sin^2(a)

Now, substituting the simplified expressions back into the original expression: sin(a)*sin(a) + (1 - sin^2(a))

Expanding the terms, we have: sin^2(a) + 1 - sin^2(a)

The sin^2(a) terms cancel out, resulting in: 1

Therefore, the simplified expression is 1.