Question

На какую наибольшую степень числа 2 делится число 10^2017-2^2017 А) 2016Б)2017В)2018Г)2019Д)2020

Answer 1

$10^{2017}-2^{2017}=(2\cdot5)^{2017}-2^{2017}=2^{2017}\cdot5^{2017}-2^{2017}=\\=2^{2017}(5^{2017}-1)=2^{2017}(5-1)(5^{2016}+5^{2015}+5^{2014}+\dots+5+1)$

Первый сомножитель делится на 2 в 2017, второй — на 2 в квадрате, третий не делится на 2, так как это сумма 2017 нечётных чисел. Значит, всё произведение делится на 2 в степени 2017 + 2 + 0 = 2019.

Answer 2

Чтобы выяснить, на какую наибольшую степень числа 2 делится число $10^{2017} - 2^{2017}$, давайте сначала преобразуем это выражение.

Мы можем разложить $10^{2017}$ на $2^{2017} \cdot 5^{2017}$, поскольку 10 в десятичной системе счисления представляет собой $2 \cdot 5$. Таким образом, $10^{2017} - 2^{2017} = 2^{2017} \cdot 5^{2017} - 2^{2017}$.

Затем мы можем сгруппировать слагаемые:

$2^{2017} \cdot 5^{2017} - 2^{2017} = 2^{2017} \cdot (5^{2017} - 1)$.

Теперь мы видим, что оба слагаемых содержат множитель $2^{2017}$. Поэтому наибольшая степень числа 2, на которую делится исходное выражение, равна 2017.

Ответ: Б) 2017