Question

В двузначном натуральном числе переставили цифры, и число при этом: 1) увеличивается на 9 2) уменьшается на 63 3) увеличивается на 75% Найдите все возможные варианты

Answer 1

1) естественно, 12    21-12=9
2) число представим ху, тогда (у*10+х) - (х*10+у)=63  (собственно, и первое так же решается)
раскрываем
9у-9х=63
выражаем
9у=63+9х      отсюда     у=7+х (х меньше 3 - то есть или 0, 1, 2)
перебор х=0   - - у=7 (однозначное чилсло 07) - не подходит
х=1,у=8   (18-81)=-63 (подходит)
х2,у=9    (19-91)=-72 (не подходит)
итого 18
3) по тому же принципу
увеличивается на 75% - это оно стало 1,75
итого 
(у*10+х)/(Х*10+у)=1,75
домножаем
(у*10+х)=1,75*(Х*10+у)
итого
у*(10-1,75)=х*(17,5-1)
у*8,25=х*16,5
у=х*16,5/8,25
у=2х
итого
х=0,у=0 (не пойдет)
х=1,у=2 то есть 12
х=2,у=4 то есть 24        42/24=1,75 (подходит)
х=3,у=6 то есть 36        63/36=1,75 (подходит)
х=4,у=8 то есть 48        84/48= 1,75 (подходит)
х=5,у=10 (не пойдет)
в-общем три варианта в 3)

Answer 2

Пусть исходное число имеет вид $10a+b$, где $a$ и $b$ - цифры десятков и единиц соответственно.

1. При перестановке цифр число увеличивается на 9, значит получаем уравнение:

$$10b+a=10a+b+9.$$

Разрешаем его относительно $b$ и получаем $b=2a-4$. Поскольку $b$ - цифра, то $a$ должно лежать в интервале от 5 до 9. Проверяем все эти значения и получаем, что возможными являются следующие пары чисел: $(52,25)$, $(63,36)$, $(74,47)$, $(85,58)$, $(96,69)$.

2. При перестановке цифр число уменьшается на 63, значит получаем уравнение:

$$10b+a=10a+b-63.$$

Разрешаем его относительно $b$ и получаем $b=a-6$. Поскольку $b$ - цифра, то $a$ должно лежать в интервале от 7 до 9. Проверяем все эти значения и получаем, что возможными являются следующие пары чисел: $(72,27)$, $(81,18)$, $(93,39)$.

3. При перестановке цифр число увеличивается на 75%, значит получаем уравнение:

$$10b+a=\frac{5}{4}(10a+b).$$

Разрешаем его относительно $b$ и получаем $b=\frac{7}{3}a$. Поскольку $b$ - цифра, то $a$ должно быть кратно 3 и лежать в интервале от 3 до 8. Проверяем все эти значения и получаем, что возможными являются следующие пары чисел: $(36,63)$, $(48,84)$.

Таким образом, все возможные пары чисел: $(52,25)$, $(63,36)$, $(74,47)$, $(85,58)$, $(96,69)$, $(72,27)$, $(81,18)$, $(93,39)$, $(36,63)$, $(48,84)$.